38.Теорема Лагранжа. Правило Лопиталя.

Теорема Лагранжа: Пусть задана ф-я и пусть она: 1) опр-на и непрер на; 2) имеет кон произв-юна. Тогда найдётся такая т. с (a<c<b), что вып-ся рав-во

Док-во: Введём вспомогат функцию

Она удовл-т всем условиям теоремы Ролля. Действительно, F(x) опред-на и непрер на ,,

,т.е. сущ на . След-но, найдётся точка с (a<c<b), такая, что F’(c) = 0, т.е.

или

Тогда ∆

Правило Лопиталя: Пусть ф-и f(x) и g(x) одновр явл либо бескон б-ми, либо беск-но малыми в т. . Тогда при выч-и пределовпри x →для раскрытия неопред-тей видаилиудобно применить пр. Лопиталя :

, Неопределенности вида 0 · ∞, ∞ – ∞,,,часто удается свести к неопределенностям видаилис помощью различных преобразований.

39) Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я) ф-й.

Ф-я наз-сявозраст-ей на инт-ле, если для любыхииз этого инт-ла, для которых, верно нерав-во. Ф-я наз-сяубыв-ей на инт-ле, если для любыхx₁ и x₂ из этого инт-ла, для кот, верно нерав-во.Необх-ое усл-е возраст-я ф-ии:если ф-ия диффер-ма и возраста на инт-ле, тодля всех х из этого инт-ла.Необх-ое усл-е убыв-я ф-ции. Если ф-ция дифф-ма и убыва на инт-ле, тодля всех х из этого инт-ла.Достаточное усл-е возраст-я (убыв-я ф-и). Пусть ф-я диф-ма на инт-ле. Если во всех точках этого инт-ла, то ф-ия возраста на этом интле, а если, то ф-я убывает на этом инт-ле.

40)Экстрему ф-ии.Необх усл-е экс-ма ф-ии. Достаточное (1е и 2е) усл-я экс-ма. Нахожд-е наимень и наиболь знач-ий ф-ии на отр-ке.

Точки макс-ма и мин-ма наз. точками экст-ма ф-ии. Т-ка x_i наз точкой mах ф-и y =f(x) если для люб достаточно малых выполн-ся нерав-воf(x₁+)<f(x₁). Точка x_i наз точкой min ф-ии y =f(x) если для люб достаточно малых справед-во нерав-воf(x₂+)<f(x₂). Если ф-я y=f(x) имеет в точке x=x₀ экст-м, то f’(x)=0 или f’(x₀) не сущ (необход усл-е экст-ма).Если при переходе (слева направо) через критическую т-ку x₀ пр-ая f’(x) меняет знак с +на-, то в т-ке x₀ ф-я y=f(x) имеет max; если же с - на +, – то min; если знака не меняет, то экст-ма нет (1е достаточное усл-е экстр-ма). Если f’’(x₀)<0,то ф-я имеет локальный max; если f’’(x₀)>0, - локальный min; если f’’(x₀)=0, точка x=x₀ может и не быть экстремальной (2е достат-е усл-е экстр-ма). Если ф-я f(x) диффер-ма в ограниченной замкнутой обл-ти, то она достиг своего наиб (наимен) знач-я или в критической т-ке, или в граничной т-ке обл-ти.Алгоритм исслед-я ф-и на экс-мы:1)обл опред-я Х, нанос на числ. прямую.2)f(x)=0, корни этого ур-я-стационарн, или критич т-ки ф-ии. Замеч-е 1: к стац. Т-кам относ тж те т-ки, где пр-я обращ-ся в бескон-ть.Зам 2: если стац т-к нет,экс-мов нет.3)нанести т-ки на прямую4)опред-ть знак пр-ой на кажд инт-ле5)y max, y min

41)Выпук-ть ф-ции вверх(вниз).Необх-ое и достат-ое усл-я перегиба ф-ии.

Кривая, заданная ф-ей y=f(x), наз. выпуклой в инт-ле (a;b), если все т-ки кривой лежат не выше люб касат-ой в этом инт-ле,и в вогнутой в инт-ле (a;b),если все т-ки этой кривой лежат не ниже люб её кас-й в этом инт-ле.Т-ка кривой M₀(y₀;x₀), отделяющая выпуклую её часть от вогнутой (или наоборот), наз. Т-ой перегиба кривой.Если ф-я y=f(x) имеет в окрест-ти внутр т-ки c обл-ти опред-я 2ю непрерывную пр-ую и т-ка M(c,f(c)) , лежащая на графике ф-ии, явл-ся т-ой перегиба, то f’’(c)=0 (необх усл-е перегиба).Если при переходе через т-ку c, подозрительную на перегиб графика ф-и y=f(x),2я пр-ая меняет знак, то точка M(c,f(c)) гр-ка есть т-ка перегиба (достат-е усл-е перегиба).