1) Все элем-ые ф-ции в области определения непрерывны.

2) Если f(x) непр-на в т. х₀, то limf(x)= f(x₀).

3) Сумма, произвед-е и частное двух непр-ых ф-ций есть ф-ция непр-ая (делитель не равен нулю).

4) Пусть ф-ция u=φ(х) непр-на в точке х₀, а функция у=ƒ(u) непр-вна в точке u₀=φ(х_о). Тогда сложная ф-ия ƒ(φ(х)), сост-я из непр-вных ф-ций, непр-на в точке х₀.

5) Если ф-я у=ƒ(х) непрер. и строго монотонна на [a;b] оси Oх, то обр. ф-я у=φ(х) также непрер. и монотонна на соотв. отрезке [c;d] оси Оу.

34.Произв. Ф-ции. Геометр., механ., экон. Смысл произ-ной. Эласт-сть ф-ции, ее экон приложение.

Пусть ф-ция y=f(x) определена на некот множ-тве Х, тогда произв. ф-цией y=f(x) назыв. предел отношения приращения ф-ции к приращению независ. переменной, если этот предел сущ-ет когда приращ-е аргумента стремится к нулю. Если ввести обозначения: то выраж-е можно записать в виде:

Обозначается произ-я у’, f’(x), ,

C геометр. точки зр. значения производной ф-ции, вычисленное в некот. точке численно равно угловому коофициенту касательной, проведенной к графику ф-ции у=f(x) в точке с абсциссой ,

т.е. f’(

f’(

Пусть задана ф-ция S=S(t), кот. опред-ет зависимость пути от времени,в механике S’(t)=V –мгнов.скорость в момент времени t.

Пусть задана ф-ция у=f(x), для которой сущ-ет производная у’=f’(x). Эластич-тью ф-ции у=f(x) относ-но переменной х назыв-ся предел:

Его обознач-т

Эластич-ть относ-но х есть приближен.процентн прирост ф-ции (повышение/пониж-е) при приращении независ переменной на 1%.

35. Правила дифферен-я. Таб-ца произв-ых.

Операция нахождения производной назыв. дифференцированием.

Пусть u=u(x), v=v(x)- некот диффер-мые ф-ии, с-конст. Тогда:

1)С’=0. 2)(u±v)’=u’±v’ 3)(uv)’=u’v+uv’. 4)(c u)’=c u’. 5) 6)y=f(u), где u=.Произв-я сложн ф-ции = произвед-ю произв-ых составляющих ее ф-ций:y’=. Т-ца осн. пр-ых: (1/x)’=-1/;

;

36.Производная показательной неявной функции. Производные высших порядков:

Производная показательной функции:

При для любого х

Производная неявной функции:

При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение . Отсюда получим формулу для производной функции, заданной неявно:=. Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением:

, .

Производные высших порядков:

Если f '(x) — производная функции f (x), то производная от нее по независимой переменной x, (f '(x))' = f ''(x), называется производной второго порядка. Аналогично определены производные 3-го, 4-го, , и т.д, n-го порядка: f''' (x) = ( f'' (x))' , f (4)(x) = (f''' (x))' , f (n)(x) = (f (n -1)(x))'

37. Теорема Ферма. Т-ма Ролля. Их геом смысл.

Теорема Ферма:

Пусть функцияопределена наX и во внутренней точке С этого промежутка принимает наиб-е или наимен-е знач-е. Если сущ конечная пр-я , то необх-мо, чтобы.Док-во: Пустьв точке с принимает наиб-е значение, т.е.≥для хХ. По опред-ю пр-ой:=Этот предел не зависит от того, приближ-ся х к с слева или справа.Разность≤0, следовательно, при х>с

≤0,а при x>c ≥0. Переходим к пределу:

Т. К. по усл. существует, то односторонние производные равны и=0 ∆

37а Теорема Роля: Пусть задана ф-ция и пусть она: 1) определена и непрepывна на ; 2) дифференц-ма, по крайней мере, на; 3) имеет равные значения на концах отрезка, т.е.. Тогда найдётся с (a<c<b) такое, что _=0.Док-во: Ф-ция непрерывна на, следов-но, достиг наиб-го М и наимен-гоm знач-й, т.е. m≤≤M. Рассмотрим 2 случая:1)M=m. Тогда =const, =М,=0 и любую точку изможно принять за с.2)M>m. Так как,то М иm не достиг-ся оба на концах отрезка, т.е. хотя бы одно достиг-ся в точке c, а по теореме Ферма =0 ∆.

Геом смысл теорем Роля и Ферма состо в том, что при выполн-и условий теоремы на инт-ле сущ точкаe такая, что в соответ-ей т-ке кривой касательная ║ оси Ох. Таких точек на интервале может быть и неск-ко, но теорема утверждает существ-е по кр. мере 1 такой точки.