2. Головні властивості математичних моделей.

Блоковість означає, що складна математична модель складається з окремих частин-блоків, відносно незалежних. Незалежність означає, що блок можна розглядати як модель окремої підсистеми чи явища, яке входить до складу об'єкта –прототипу, можна незалежно його змінювати, модернізувати, перевіряти результати роботи. Якщо такий блок відлагоджений, його можна далі використовувати в різних задачах.

Ієрархічність математичних моделей означає їх вертикальне деревоподібне структурування, показане на рис. 1.2. Ієрархічність і блоковість є дуже корисними властивостями математичної моделі, бо саме завдяки ним можна послідовно будувати складну модель як систему взаємопов'язаних простіших окремих елементів (блоків).

Проілюструємо ці дві властивості на прикладі простої математичної моделі електричних процесів в електрохімічному апараті. Основою моделі має бути рівняння вольт-амперної характеристики деякого конкретного процесу:

, (1.2)

де U,E_Р – робоча напруга і ЕРС (напруга розкладу електроліту), I-струм, _A _K – поляризації анода та катода, R_E – омічний опір електроліту. Це рівняння є закінченим, і його можна розглядати як перший рівень математичної моделі U=F(I) .

На другому рівні можна більш детально описати параметри, які входять до рівняння (1.2), вводячи нові блоки , наприклад, термодинамічний вираз для визначення напруги розкладу, рівняння Тафеля для опису електрохімічної кінетики анодного процесу та рівняння Нернста для концентраційної поляризації катодного:

(1.3)

, (1.4)

, (1.5)

. (1.6)

В наведені вирази крім відомих констант входять також нові параметри, числові значення яких потрібно якимось чином визначити – гранична густина струму на катоді i_GR, питома електропровідність електроліту , а також геометричні розміри робочого простору – площа перетину електролізера S та між електродна відстань h. Це є матеріали для більш детального розгляду на наступному третьому рівні, наприклад, параболічна залежність питомої електропровідності електроліту від концентрації (апроксимація за дослідними даними)

, (1.7)

та вираз для граничної густини струму з теорії концентраційної поляризації Нернста:

. (1.8)

Як видно з наведеного прикладу, досить складне явище в математичній моделі описано простими окремими елементами, які складають єдину систему зі спільним набором параметрів. Зрозуміло, що чим більше буде ієрархічних рівнів в математичній моделі, тим глибше відображення в моделі сутності фізичних процесів в системі, більшою буде кількість параметрів, а це в свою чергу означає зростання «чутливості» моделі до дії різних факторів.

Рис. 1.2 Змістова структура математичної моделі електричних процесів в електрохімічному апараті

Замкнутість. Ця властивість означає, що всі змінні (параметри) в математичній моделі зв’язані між собою різними співвідношеннями, що і утворює з них єдину систему. Приклад незамкненої системи рівнянь з кількістю вхідних параметрів-5 и вихідних -4 показаний на рис. 1.3. Лініями позначені співвідношення між параметрами – формули і рівняння.

Рис.1.3. Графічна схема зв’язків міх параметрами математичної моделі.

Тут всі параметри, крім Y₁ та x₅ зв’язані рівняннями, які вказані лініями. Наприклад, можна прослідкувати непрямий зв’язок x₁ Y₄ через три співвідношення x₁ Y₃ x₄  Y₄. А співвідношення Y₂ = f(x₅), вказане штриховою лінією, не містить ні одного з інших параметрів, тому така система рівнянь є незамкнутою. Дана система фактично складається з двох окремих підсистем, які вирішуються незалежно одна від другої. Проте імовірніше, що при формулюванні математичної моделі не були враховані деякі існуючі взаємозв’язки між параметрами в об’єкті, тобто недостає окремих співвідношень. Наприклад, при аналізуванні чи проектуванні режимів роботи електрохімічних апаратів матеріальні розрахунки і енергетичні (розрахунок напруги і витрат енергії) виконуються окремо і незалежно. Це є інженерне наближення, насправді ж поляризації електродів і напруга залежать від складу електроліту, який є результатом матеріальних процесів.

Адекватність – найважливіша кількісна характеристика математичної моделі, яка визначає ступінь відповідності результатів моделювання і властивостей реального об'єкта-прототипа. Кількісний критерій адекватності  можна сформулювати по-різному, в залежності від того, які характеристики об'єкта-прототипа вважати важливішими з точки зору відповідності. Як можливий варіант, можна пропонувати такий вираз:

, (1.9)

де _MOD та _ - відповідно значення і-того параметра, одержані при моделюванні і в експерименті, ^і - умовний коефіцієнт важливості даного (і-того) параметра, такий, що сума всіх N значень ^і дорівнює одиниці. Для важливих факторів значення коефіцієнта ^і має бути більшим, для другорядних – меншим або навіть нульовим. Зрозуміло, що для оцінювання значення критерія адекватності потрібно виконувати спеціальні експерименти і порівнювати їх з даними математичного моделювання.

Значення критерія адекватності – це сума відносних відхилень між експериментально виміряними та розрахованими на моделі значеннями всіх вихідних параметрів Y₁, Y₂,Y₃…Y_N, з урахуванням важливості кожного. Таким чином, вираз (1.9) не є строго визначеним – він через довільно обрані значення коефіцієнтів ^і важливості факторів відображує суб´єктивні вимоги до математичної моделі.

Повністю адекватних математичних моделей (=0) не існує. Найчастіше висока точність потребує значного ускладнення математичної моделі, тому в практиці математичного моделювання обмежуються результатом з допустимою точністю.