12.2. Методика розрахунку на міцність при складному опорі першої групи

Розглянемо фрагмент стержня, що зазнає дії зовнішніх навантажень, при яких у поперечному перерізі виникають п'ять внутрішніх силових факторів, крім крутного моменту: . Впливом поперечних силнехтуватимемо. Тоді в поперечному перерізі стержня залишаться діяти тільки три внутрішніх силових фактори(Рис.12.1).

Кожний з наведених внутрішніх силових факторів є інтегральною сумою нормальних напружень, що виникають у поздовжніх волокнах стержня. Напружений стан, який при цьому виникне, буде лінійним. Отже, для визначення розрахункового напруження можна використовувати принцип простого додавання нормальних напружень.

Виберемо довільним чином точку К и обчислимо в цій точці нормальні напруження, користуючись принципом суперпозиції:

, (12.1)

де: ;;.

Підставляючи значення напружень у формулу (12.1), одержимо:

. (12.2)

Рис.12.1

Знак перед кожним з доданків у формулі (12.2) вибираємо такий, який би мало нормальне напруження для кожного з відповідних простих видів деформації, тобто з фізичної суті. В якості прикладу покажемо знаки, які б мало нормальне напруження в кожній з чвертей координат для випадку, наведеного на рис.12.1 від кожного з простих видів деформації (Рис.12.2).

Рис.12.2

Таким чином, нормальні напруження в точці К будуть мати такі знаки:

.

При визначенні максимальних напружень потрібно знати координати точок, у яких ці напруження виникають. З формули (12.2) випливає, що найбільші нормальні напруження виникають в найбільш віддалених волокнах перерізу від так званої нульової лінії перерізу. Нульовою лінією будемо називати геометричне місце точок, нормальне напруження у яких дорівнює нулю. При плоскому поперечному згинання положення нульової (нейтральної) лінії відомо – ця лінія проходить через центр ваги перерізу. Чи не так це в загальному випадку складного опору? Щоб це з'ясувати, обчислимо в кожній з точок нульової лінії нормальні напруження, скориставшись формулою (12.2). За координати довільної точки нульової лінії візьмемо координати і. Напруження в такій точці дорівнюватиме:

. (12.3)

Рівняння (12.3) являє собою рівняння нульової лінії. Знаки перед кожним з доданків вибираються такими, які б мало нормальне напруження для точки поперечного перерізу, що належить першому квадрантові. У нашому випадку (Рис.12.1) рівняння (12.3) набуває вигляду:

. (12.4)

Аналізуючи рівняння (12.4), можна зробити висновок, що нульова лінія є прямою лінією, тому що координати її точок івходять у це рівняння в першому ступені. Нульова лінія не проходить через центр ваги перерізу, тому що прикоордината. Надалі при вивченні окремих видів складного опору ми відзначимо і деякі інші особливості поведінки нульової лінії.

Складемо тепер рівняння міцності для загального випадку складного опору (для першої групи). Максимальні напруження будуть виникати у точках, найбільш віддалених від нульової лінії. Позначимо координати однієї з таких точок і. Тоді умова міцності набуває вигляду:

. (12.5)

В окремому випадку, якщо поперечний переріз має вигляд прямокутника, небезпечними точками будуть кутові точки перерізу. У цьому випадку умова міцності має вигляд:

. (12.6)

На рис.12.3 показаний один з варіантів розподілу нормальних напружень у загальному випадку (у рамках першої групи) складного опору для перерізу прямокутної форми.

Рис.12.3

Сформулюємо порядок розрахунку на міцність при складному опорі:

1. Розкладаємо довільну просторову систему сил на складові, що діють в головних площинах інерції бруса.

2. Будуємо епюри внутрішніх зусиль у головних площинах інерції.

3. Визначаємо положення небезпечних перерізів – тих перерізів, у яких внутрішні зусилля одночасно значні.

4. Складаємо рівняння нульової лінії (12.4) і будуємо її для всіх небезпечних перерізів.

5. Визначаємо координати небезпечних точок (найбільш віддалених від нульової лінії) для всіх небезпечних перерізів.

6. Обчислюємо напруження в небезпечних точках і перевіряємо міцність бруса за формулою (12.5).

Для окремого випадку, коли переріз має дві осі симетрії і вписується в прямокутник так, що усі вершини прямокутника належать перерізові, небезпечна точка завжди лежить в одній з вершин і умова міцності набуває вигляду (12.6). У цьому випадку можна не виконувати пункти 4 і 5.

Розглянемо докладніше кожний з видів складного опору першої групи.