
- •Основні питання Програми дисципліни за темою «Аналітична геометрія на площині та в просторі»
- •Орієнтовний перелік питань для підсумкового контролю знань
- •1. Аналітична геометрія на площині
- •1.1. Декартова прямокутна система координат на площині
- •1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між прямокутними декартовими та полярними координатами
- •1.3. Пряма лінія на площині
- •Відстань від точки до прямої:
- •Взаємне розташування двох прямих на площині
- •1.4. Криві другого порядку
- •Зсунені криві
- •2. Аналітична геометрія у просторі
- •2 .1. Площина у просторі
- •Відстань від точки до площини,
- •Взаємне розташування двох прямих у просторі
- •Взаємне розташування прямої та площини у просторі
- •Методичні вказівки щодо виконання індивідуальних завдань
- •Правила виконання та оформлення індивідуальних завдань
- •Список літератури
- •Додаток
- •Індивідуальні завдання за темою
- •«Аналітична геометрія на площині та в просторі»
- •Завдання 1
- •Завдання 2
- •Завдання 3
- •Завдання 4
- •Завдання 5
- •Завдання 6
- •Завдання 7
1. Аналітична геометрія на площині
1.1. Декартова прямокутна система координат на площині
Координатами точкиназиваються числа, взяті в певному порядку, які визначають положення точки на прямій, на площині, у просторі або на поверхні. Найчастіше використовуютьдекартові координати.
Декартова
прямокутна система координат на площині– це дві взаємно перпендикулярні
координатні осіі
з обраною одиницею масштабу. Положення
точки в системі
задається парою чисел
,
.
|
Відстань між двома точками
|
М |
Поділ
відрізка
в
заданому відношенні
Координати
середини відрізка
(при
|
|
Площа
трикутника
де
|
1.2. Полярна система координат
Найважливішою
після прямокутної системи координат є
полярна система координат. Вона
задається точкою,
яка називаєтьсяполюсом, і
променем
,
що має початок у полюсі та називаєтьсяполярною віссю. Задаються також
одиниці масштабу:лінійна– для
вимірювання довжин відрізків ікутова– для вимірювання кутів.
|
Розглянемо
полярну систему координат і візьмемо
на площині довільну точку
|
Полярними
координатамиточкиназиваються числа
і
.
При цьому число
вважається першою координатою і
називаєтьсяполярним радіусом,
а число
– другою координатою і називаєтьсяполярним кутом. Точка
з полярними координатами позначається
так:
.
Очевидно, полярний радіус може набувати
довільних невід'ємних значень
,
полярний кут вважається таким, що
змінюється в межах
.
Зв’язок між прямокутними декартовими та полярними координатами
Виразимо декартові
координати точки
через полярні. Вважатимемо, що початок
прямокутної системи збігається з
полюсом, а вісь
– з полярною віссю
.
Якщо точка
має декартові координати
і
(
)
та полярні
і
(
),
тоді:
|
формули переходу від полярних координат до декартових:
формули переходу від декартових координат до полярних:
|
Зауваження:
остання формула дає два значення кута
,
оскільки він змінюється від
до
.
Із цих двох значень кута треба взяти
те, якому задовольняють декартові
координати
та
.
1.3. Пряма лінія на площині
|
1.
Рівняння прямої, що проходить через
задану точку
2. Загальне рівняння прямої:
|
|
3.
Канонічне рівняння прямої (рівняння
прямої, що проходить через задану
точку
4. Параметричне рівняння прямої: |
|
5.
Рівняння прямої, яка проходить через
дві задані точки
(
|
|
6. Рівняння прямої у відрізках на осях:
7. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
8.
Рівняння прямої, яка проходить у
заданому напрямку через задану точку
9. Нормальне рівняння прямої: |