2.4. Теореми про границі

Практичне обчислення границь базується на наступних теоремах про границі: якщо існують

та , то:

1. , де С = const.

2. =, де С = const.

3. =.

4. =.

5. =, де ().

А також на теоремах про граничний перехід під знаком неперервної функції: якщо неперервна у точціта, то

.

3. Методичні рекомендації

На практиці для обчислення границь велике значення мають такі границі:

1. (перша визначна границя).

2. (друга визначна границя).

3. ,

де P(x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 +…+a_n, Q(x) =b₀x^m+b₁x_m-1+…+b_m – багаточлени.

;

.

Разом:

Крім цього, можна записати наступні корисні на практиці співвідношення:

Якщо функція є елементарною та якщо граничне значення аргументу належить до її області визначення, то обчислення границі зводиться до простої підстановки граничного значення аргументу. Тобто границя елементарної функції принаближається до значення, яке входить до області визначення функції, дорівнює приватному значенню функції при:

.

Розглянемо випадки, коли границю функції не можна визначити шляхом підстановки замість аргументу його граничного значення (невизначеності ,(),,,). У цих випадках необхідно проводити додаткові дослідження, основані на тотожних перетвореннях функції.

1. Випадок, коли функція, яка стоїть під знаком границі при або, – це відношення двох нескінченно великих величин (невизначеність типу).

Тобто ,=.

Якщо та– раціональні функції, то числівник та знаменник дробу необхідно розділити на найвищий степінь, який зустрічається в доданках числівника та знаменника.

Приклад. Знайти границю

.

Спочатку переконуємось у тому, що маємо невизначеність , зробимо деякі перетворення. Розділимо числівник і знаменник на(найбільший степінь числівника та знаменника):

==.

Приклад. Знайти границю

.

Спочатку переконуємось, що маємо невизначеність , розділимо числівник і знаменник на(найбільший степінь числівника та знаменника):

==.

2. Випадок, коли функція, яка стоїть під знаком границі при або, – це відношення двох нескінченно малих величин (невизначеність типу).

Тобто ,=.

У цьому випадку шляхом тотожних алгебраїчних або тригонометричних перетворень необхідно скоротити дріб.

Приклад. Знайти границю

.

Спочатку переконуємось у тому, що маємо невизначеність типу , зробимо деякі перетворення, а саме:

==.

Приклад. Знайти границю

.

Приклад. Знайти границю

.

Приклад. Знайти границю .

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2).

Таким чином, можна записати x² – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3),тому що

x³– 6x²+ 11x – 6 x - 1

x³– x²x²– 5x + 6.

- 5x²+ 11x

- 5x²+ 5x

6x - 6

6x - 6 0

Тоді .

3. Випадок, коли функція, яка стоїть під знаком границі при або, – це різниця двох нескінченно великих величин (невизначеність типу ).

Тобто ,=.

Цей випадок невизначеності можна привести до розглянутих раніше випадків ,шляхом перетворення функції.

Приклад. Знайти границю – невизначеність типу ().

=.

4. Випадок, коли при абофункція, яка стоїть під знаком границі, – це добуток нескінченно малої величини на нескінченно велику (невизначеність типу ).

Тобто ,=0, .

Цей випадок, як і попередній, можна привести до розглянутих раніше випадків невизначеностей типів ,.

Приклад. Знайти границю ,

маємо невизначеність типу (). Нехай, тоді отримаємо:

=.

5. Випадок, коли при абофункція, яка стоїть під знаком границі, – це степінь, основа якого наближається до одиниці, а показник – до нескінченності (невизначеність типу ).

Тобто ,=1,=. У цьому випадку знаходження границі зводиться до другої визначної границі.

Приклад. Знайти границю

===

==.

Приклад. Знайти границю.