2.3.3. Ситуационное моделирование

В разд. 2.1 решение (4) уравнения измерения (2) полу­чилось приближенным из-за неточного знания поправки. Ситу­ации, в которых по какой-либо причине не хватает нужной количественной информации, часто встречаются в метроло­гии. Для математического описания таких ситуаций использу­ются ситуационные модели.

Предположим, например, что неизвестно значение Q не­которой физической величины Q. Требуется представить эту ситуацию математической моделью.

Если какие-либо значения Q более вероятны, чем другие, это должно быть принято во внимание. Тогда подбирается соответствующий закон распределения вероятности Q на ин­тервале возможных значений. Если же на этом интервале Q с одинаковой вероятностью может иметь любое значение, то закон распределения вероятности Q принимается равно­мерным.

Выбранный закон распределения вероятности Q является математической моделью ситуации, состоящей в том, что зна­чение Q неизвестно. Эта модель не является стохастической (случайной, вероятностной), так как Q — неслучайное значение, и статистические законо­мерности здесь не проявляются. Чтобы подчеркнуть это, у си­туационных моделей величину, аналогичную дисперсии, обоз­начают через .

Р(Q)

На рис. 17 представлена графически математическая мо­дель ситуации, состоящей в том, что значение Q с одинако­вой вероятностью может быть любым на интервале от — Q_m до Q_m. Так как площадь, ограниченная осью абсцисс и графиком плотности распределения вероятности должна равняться единице, то

.

Отсюда

P(Q)=.

Числовые характеристики этого "закона распределения ве­роятности" среднего значения

,

что видно непосредственно из рисунка; аналог дисперсии

.

Вместо аналога дисперсии часто используется аналог сред­него квадратического отклонения

.

Пример 12. В рабочих условиях измерений температура на 1000 К превышает нормальную. Средством измерений является металличес­кая линейка из тугоплавкого сплава. Чему равна температурная поп­равка при измерениях длины в таких условиях?

Решение. Зависимость длины линейки от температуры имеет вид:

,

где l_н и t_н— длина линейки и температура, соответствующие нормаль­ным условиям, а — коэффициент линейного расширения материала, из которого изготовлена линейка. Результат сравнения неизвестного значения L с l при в (1 + 1000) раз меньше результа­та сравнения L с l_н. Поэтому поправочный множитель (мультипликатив­ная температурная поправка)

æ = 1+1000α

Коэффициент линейного расширения сплава α обыч­но неизвестен. По справоч­ным данным он может быть в пределах от 10^-6 К^-1 до 10^-5 К^-1. Отсутствие точных сведений об α можно учесть с помощью ситуационной модели, сог­ласно которой æ с одина­ковой вероятностью может иметь любое значение в пределах интервала 1,001 æ 1,01. Графическое изображение ситуационной модели дано на рис. 18, а. Числовые характеристики этого "закона распределения вероятности"

æ = 1,0055;

u_æ = 2,610^-3.

В рассматриваемом примере температурная по­правка может быть сконст­руирована и как аддитив­ная

Графическое изображение ситуационной модели в этом случае показано на рис. 18, б, а ее числовые характеристики равны:

= 0,0056 X;

2,6 • X • 10^-3.

Использование ситуационной модели является искусственным ма­тематическим приемом, позволяющим учесть дефицит информации означении коэффициента линейного расширения . Проведя соответствую­щие исследования и установив значение, можно уточнить поправку, которая на самом деле является неслучайной и изображается точкой на числовой оси.