Пособие ТОКН

3.Перемежающийся отказ – многократно возникающий самоустраняющийся отказ объекта одного и того же характера; в инженерной практике такие отказы называются сбоями, они происходят из-за нестабильной работы элементов.

4.Ресурсный отказ – отказ, в результате которого объект достигает предельного состояния.

2

t

T

Рис. 3.2. Иллюстрация к определениям внезапного (1) и постепенного (2) отказов

3.3. Показатели безотказности

Далее (за исключением подразд. 3.16) рассматриваются только внезапные отказы, с которыми будем связывать случайную величину Т – момент появления отказа (см. рис. 3.2).

Будем рассматривать два типа определений – теоретическое и экспериментальное. Во втором случае имеется в виду следующий эксперимент: на испытания ставятся n однотипных элементов, т.е. на эти элементы подается определенная электрическая нагрузка, задается определенный температурный режим и другие внешние условия; в ходе испытаний фиксируются времена отказов отдельных элементов для дальнейшей обработки этих результатов.

3.3.1. Вероятность безотказной работы Одной из важнейших количественных характеристик надежности является

вероятность безотказной работы, т.е. вероятность того, что в пределах рассматриваемого промежутка времени (0,t) отказ не возникнет. Ее стандартное

обозначение – P(t) . С точки зрения теории вероятностей P(t) представляет со-

бой вероятность события, состоящего в том, что случайная величина T будет больше рассматриваемого значения t:

P(t) = Вер(T > t) .

Часто бывает удобно говорить не о вероятности безотказной работы, а о вероятности отказа Q(t) , которая определяется как Q(t) = Вер(T ≤ t) . Из опре-

деления следует, что P(t) + Q(t) =1. Также из определения можно сделать вы-

81

вод о том, что P(t) – невозрастающая, а Q(t) – неубывающая функции времени. Типичные графики этих функций представлены на рис. 3.3.

P, Q

Q

P

t

Рис. 3.3. Типичные графики вероятностей безотказной работы и отказа

В случае экспериментального определения оценка вероятности безотказной работы определяется выражением

где n – число объектов, поставленных на испытания, nt – число объектов, не отказавших к моменту t.

3.3.2. Интенсивность отказов Начнем с экспериментального определения, задаваемого формулой

где nt – число отказов за время ∆t.

Из формулы (3.2) следует, что интенсивность отказов можно рассматривать как относительную скорость появления отказов. Идеализированный график зависимости интенсивности отказов от времени представлен на рис. 3.4. Для лучшего понимания его особенностей приведем идеализированный график смертности людей (рис. 3.5, где символом σ обозначена смертность, которая рассчитывается по формуле, аналогичной (3.2)).

Приведенные графики имеют по три участка, на каждом из которых интенсивность (смертность) имеет характерное поведение. Проанализируем их, начав со смертности.

Участок I. Для человека это раннее детство, когда смертность велика изза врождённых пороков, несовместимых с жизнью.

В технике этот участок называется участком приработки, здесь проявляются скрытые дефекты производства, которые остались не замеченными службой технического контроля. Для того чтобы такие элементы (и изготовленные из них из-

82

делия) не попали к потребителю, на предприятиях производятся так называемые приработочные испытания, в ходе которых выявляются и отбраковываются дефектные элементы. Длительность участка приработки составляет 10÷100 часов.

λ

Рис. 3.4. Идеализированный график интенсивности отказов

σ

t

Рис. 3.5. Идеализированный график смертности

Необходимо подчеркнуть, что как у человека, так и в технике высокая смертность (интенсивность отказов) на этом участке обусловлена внутренними причинами, т.е. теми, которые были заложены в человеке при его внутриутробном развитии (возникли в процессе производства технических элементов).

Участок II. Смертность на этом участке сравнительно невелика и постоянно растет из-за разнообразных причин как внутреннего (болезни), так и внешнего (катастрофы, несчастные случаи) характера.

В технике – это период нормальной работы. Для многих технических элементов (в частности, для большинства электронных компонентов – конденсаторов, резисторов, микросхем) интенсивность отказов на этом участке с высокой степенью точности можно полагать постоянной. Причины отказов здесь, как правило, внешние и связаны с неблагоприятными факторами (электрическими перегрузками, изменениями температуры, скачками давления и т.д.), действующими как на отдельные элементы, так и на объект в целом. Длительность участка – 104÷107 часов.

Участок III. Период старости для человека, когда смертность резко возрастает из-за большого числа разнообразных, еще не до конца ясных современной медицине причин.

83

Для технических объектов это период физического старения, интенсивность отказов здесь растет из-за износа механических деталей, необратимых физико-химических процессов в элементах (например, ржавления) и т.д. Важно то, что основные причины высокой смертности и интенсивности отказов здесь внутренние (как и на первом участке).

Отметим, что технические системы редко доживают до своего физического износа (третьего участка). Это связано с тем, что раньше наступает их моральный износ из-за появления более совершенных элементов и систем с лучшими характеристиками. Сходство графиков интенсивности отказов и смертности показывает, что между закономерностями мира живой природы (в лице человека) и характеристиками техносферы существуют определенные аналогии.

что в пределе дает следующее дифференциальное уравнение (которое будет справедливо и для теоретических величин):

λ(t) = − PP&((tt)) .

Его решение имеет вид

При λ = const, что характерно для нормального участка работы, получаем

Имея в виду вид этой функции, говорят, что случайная величина T подчиняется экспоненциальному закону распределения.

3.3.3. Среднее время безотказной работы (средняя наработка до отказа) Еще одним показателем надежности является среднее время безотказной

работы Tm , которое представляет собой математическое ожидание случайной величины T. В общем случае Tm представляет собой интеграл

84

∞

Tm = M[T ] = ∫P(t)dt ,

0

при λ = const получаем простую зависимость:

Из результатов испытаний и данных эксплуатации электронной аппаратуры известно, что интенсивность отказов современных микросхем находится в интервале 10–6÷10–7 1/час. Легко подсчитать, что среднее время безотказной работы этих элементов будет не менее 1 миллиона часов, или более 100 лет. Поскольку время разработки современных элементов и систем не превышает, как правило, нескольких лет, последнее число подтверждает сделанное выше замечание о соотношении сроков морального и физического износов.

В некоторых случаях используется так называемая γ-процентная наработка до отказа; под ней понимается время, в течение которого отказ объекта не возникает с вероятностью γ, выраженной в процентах.

3.3.4.Плотность вероятности случайной величины T

Спозиций теории вероятностей случайную величину T можно охарактеризовать плотностью вероятности ϕ(t) . Чаще всего в теории надежности исполь-

зуются два вида этой функции. 1. Экспоненциальный закон:

ϕ(t) = λexp(−λt) , t ≥ 0 .

Все основные характеристики для этого закона были рассмотрены выше и поэтому не приводятся.

2. Закон Вейбулла:

ϕ(t) = m tm−1 exp(−tm /T0 ) , t ≥ 0 .

T0

Нетрудно видеть, что при m = 1 он переходит в экспоненциальный закон. Закон Вейбулла используется для элементов с явно выраженным старением, когда интенсивность отказов возрастает. Приведем основные надежностные характеристики для этого закона:

где Γ – гамма-функция; для целых значений аргумента она совпадает с факториалом: Γ(n +1) = n!, при этом Γ(0) =1.

85

3.4. Марковское свойство экспоненциального закона

Экспоненциальный закон является очень популярным в теории надежности. Он обладает интересным свойством, для получения которого рассмотрим следующую задачу. Пусть известно, что в момент времени T* объект находится

в работоспособном состоянии. Требуется при этом условии найти вероятность его безотказной работы в момент T* + τ (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Иллюстрация к выводу марковского свойства

Для решения задачи введем два события А и В: А – безотказная работа объекта на интервале (0,T* ), В – безотказная работа на интервале (T*,T* + τ) .

Вероятность интересующего нас события – это условная вероятность P(B / A) , вычисляемая по известной формуле теории вероятностей:

P(B / A) = P(AB) = e−λ(T* +τ) = e−λτ.

P(A) e−λT*

Предлагается удивиться этому результату. Действительно, согласно полученной формуле искомая вероятность P(B / A) зависит только от длительности

интервала (T*,T* + τ) и не зависит от того, сколько объект проработал до момента T* . Таким образом, в случае экспоненциального закона мы имеем дело как бы с вечно молодым объектом. На самом деле это означает, что причины отказов при λ = const являются чисто внешними, что было отмечено при анализе второго участка на графике интенсивности отказов. Из сказанного следует, что значение интенсивности отказов при λ = const – это характеристика способности объекта противостоять внешним дестабилизирующим факторам.

Полученное свойство экспоненциального закона – своеобразную независимость будущего от прошлого – можно назвать марковским, по имени русского математика А.А. Маркова (старшего). Примечательно, что экспоненциальный закон является единственным, обладающим таким свойством. Точнее, если отношение P(t + τ) / P(t) не зависит от t, то закон распределения случайной ве-

личины T будет экспоненциальным.

86

По результатам испытаний и данным эксплуатации современных микросхем было сделано заключение о том, что процессы старения в них не замечены. Это хорошо согласуется со сделанным выше замечанием о вечно молодом объекте, для которого причины отказов чисто внешние, и означает, что для микросхем с высокой степенью точности справедлив экспоненциальный закон.

3.5. Основное уравнение

Рассмотрим следующую важную для практики задачу. Имеется объект, состоящий из n элементов с интенсивностями отказов λ1, λ2 , …, λn . Требуется

найти интенсивность отказов объекта λΣ.

Для решения задачи примем два допущения:

отказ любого элемента приводит к отказу объекта; в этом случае говорят, что элементы соединены последовательно с точки зрения надежности или имеется основное соединение элементов (рис. 3.7);

отказы элементов взаимно независимы, т.е. отказ любого элемента не приводит к отказу других элементов.

Рис. 3.7. Модель последовательного соединения элементов

Ясно, что эти допущения не всегда выполняются на практике, но их использование позволяет достаточно просто решить поставленную задачу и получить интуитивно ясный результат.

Для решения задачи введем следующие события: Ai – безотказная работа i-го элемента, i = 1,2,…,n, AΣ – безотказная работа объекта. Поскольку в силу

первого допущения объект работоспособен только тогда, когда работоспособны все элементы, для введенных событий выполняется соотношение

AΣ = A1 A2 ... An .

Взаимная независимость отказов приводит к тому, что вероятность произведения событий равна произведению вероятностей:

P(AΣ) = P(A1) P(A2 ) ... P(An ) .

С учетом формулы (3.3) отсюда следует равенство экспонент:

e−λΣt = e−λ1t e−λ2t ... e−λnt ,

что в итоге дает простое соотношение

87

Таким образом, при выполнении сформулированных допущений получаем следующий простой результат: интенсивность отказа объекта равна сумме интенсивностей отказов составляющих его элементов.

3.6. Методы расчета показателей надежности

Соотношение (3.5) является основой для получения инженерных методик расчета показателей надежности проектируемого объекта, которые используются на разных этапах проектирования.

3.6.1. Расчет на основе аналога Используется на самых ранних этапах проектирования, когда известна

только элементная база, на которой предполагается реализовать объект, и ориентировочное число его элементов.

Для проведения расчетов выбирается объект-аналог, под которым понимается ранее спроектированный объект, построенный на той же элементной базе. Необходимо иметь следующую информацию об аналоге: число его элементов nа и интенсивность отказов λа .

Поскольку, по предположению, проектируемый объект и аналог строятся на одинаковой элементной базе, средние интенсивности отказов составляющих их элементов приблизительно равны:

λсра = λа ≈ λсрпр = λпр , na nпр

откуда

λпр = λа nпр , na

где nпр – число элементов проектируемого объекта. По полученной интенсив-

ности отказов можно рассчитать остальные показатели надежности. 3.6.2. Ориентировочный метод расчета

Используется на средних этапах проектирования, когда известны типы всех элементов, но не известны режимы и условия их работы. С учетом этого обстоятельства делается предположение о том, что элементы работают в номинальных режимах. Интенсивность отказов рассчитывается следующим образом:

m

λΣ = ∑λi0 ni , i=1

88

где λi0 – справочная (номинальная) интенсивность отказов; ni – число элемен-

тов i-го типа; m – число типов элементов.

Расчеты на двух рассмотренных этапах производятся с целью прогнозирования ожидаемых показателей надежности, они необходимы для анализа приемлемости предлагаемого варианта построения объекта и проверки возможности достижения заданных показателей надежности.

3.6.3. Окончательный (полный) расчет Используется на заключительных этапах проектирования, когда имеется

практически вся информация об условиях, в которых работают элементы (электрические режимы работы и температура) и объект в целом во время эксплуатации.

На первом этапе рассчитываются коэффициенты нагрузки каждого элемента:

Например, для резисторов и конденсаторов соответствующие выражения имеют вид

где W и U – мощность и напряжение соответственно.

Для повышения надежности рекомендуется выбирать такие элементы и их режимы работы, чтобы kн ≤ 0,5.

На втором этапе на основе найденных коэффициентов нагрузки и рабочей температуры элементов по графикам или таблицам определяются поправочные коэффициенты для каждого из них: αi = αi (kнi ,t) , i=1,2,…,m.

Итоговая формула для интенсивности отказов объекта имеет вид

m

λΣ = k1k2k3 ∑αi λi0 ni , i=1

где k1 – коэффициент, учитывающий механические нагрузки и зависящий от

условий эксплуатации (лабораторные, стационарные, железнодорожные, корабельные, самолетные); k2 – коэффициент, учитывающий температуру и влаж-

ность; k3 – коэффициент, учитывающий атмосферное давление.

Как и выше, по полученной интенсивности отказов можно рассчитать остальные характеристики. Расчеты на этом этапе позволяют оценить найденные показатели надежности проектируемого объекта.

89

3.7. Показатели восстановления

Показатели восстановления вводятся по аналогии с показателями безотказности, в качестве случайной величины здесь рассматривается Tр – время восстанов-

ления работоспособного состояния объекта. Коротко рассмотрим три показателя. 3.7.1. Вероятность восстановления Вероятность восстановления определяется как вероятность того, что

время восстановления работоспособного состояния Tр не превосходит заданного значения t:

Pв(t) = Вер(Tр ≤ t) .

Типичный вид зависимости вероятности Pв от времени приведен на рис. 3.8.

Pв

t

Рис. 3.8. Типичный график для вероятности Pв

3.7.2. Интенсивность восстановления Определяется по аналогии с интенсивностью отказов:

где mt – число объектов, восстановленных за время t ; m – общее число восстанавливаемых объектов; mt – число объектов, восстановленных к моменту t.

Идеализированный график интенсивности восстановления приведен на рис. 3.9. Как и на графике интенсивности отказов, здесь можно выделить три участка, смысловая нагрузка которых определяется тем, что восстановление производится человеком: I – «раскачка» – период, который необходим человеку, чтобы войти в рабочий ритм; II – нормальная работа; III – усталость, где интенсивность работы начинает падать.

Можно показать, что вероятность и интенсивность восстановления связаны дифференциальным уравнением

90