Довідник

Розділ 1 Диференціальні рівняння першого порядку

1. Поняття диференціального рівняння і його розв`язку.

Рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називають диференціальними.

Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї змінної, то таке диференціальне рівняння називають звичайним.

Якщо невідома функція, яка входить у диференціальне рівняння, є функцією багатьох змінних, то таке диференціальне рівняння називають рівнянням з частинними похідними.

Загальний вигляд диференціального рівняння:

.

Порядком диференціального рівняння називається найбільший порядок похідних, які входять в дане рівняння.

Розв`язком диференціального рівняння називається будь-яка функція, яка задовольняє цьому рівнянню (тобто функція, при підстановці якої в задане рівняння одержуємо тотожність).

При розв`язуванні диференціальних рівнянь слід враховувати, що розв`язок диференціального рівняння визначається неоднозначно, з точністю до постійної. Такий розв`язок називають загаль-ним розв`язком заданого рівняння.

Розв`язок, одержаний з використанням умови, де задані начальні дані називають частинним розв`язком заданого диференціального рівняння.

З геометричної точки зору множина всіх розв`язків диференціального рівняння є сім’я інтегральних кривих диференціального рівняння, а кожен частковий розв`язок є окрема інтегральна крива.

Задача знаходження частинного розв`язку диференціального рівняння, яке задовольняє заданим начальним умовам, зміст яких в том що у=у₀ при х=х₀, називається задачею Коші.

1. Диференціальні рівняння першого порядку.

Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння вигляду або , окремий випадок .

Задача Коші формулюється так: серед усіх розв`язків диференціального рівняння знайти такий розв`язок у=у(х), який при заданому значенні незалежної змінної х=х₀ дорівнює заданому значення у₀, тобто у(х₀)=у₀.

З геометричної точки зору знайти розв`язок

рівняння , що задовольняє початкову умову , у(х₀)=у₀ знайти інтегральну криву цього рівняння, яка проходить через задану точку (х,у₀).

Метод розв`язування рівняння вигляду :

якщо функція f(x) неперервна на деякому проміжку, то розв`язком є функція .

Теорема Пеано. Якщо функція f(x,у) неперервна в області D площини хОу, то існує неперервна разом із своєю похідною першого порядку функція , яка є розв`язком диференціального рівняння, що задовольняє початкову умову , де .

На геометричній мові теорему Пеано можна сформулювати так. Якщо функція неперервна в області площини , то через кожну точку цієї області проходить принаймні одна інтегральна крива диференціального рівняння.

2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими змінними

Диференціальне рівняння виду називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Задача Коші. Якщо функція неперервна в інтервалі (a;b), функція і її похідна по у неперервна в інтервалі (c;d), тоді для будь-яких начальних даних існує єдиний розв`язок рівняння , який задовольняє умові

Це рівняння може мати інший вигляд.

Рівняння виду , де і - функції тільки від х, а і - функції тільки від у, називається диференціаль-ним рівнянням першого порядку з відокремленими змінними.

Наведемо алгоритм розв’язування рівнянь цього типу:

1. Розділити змінні. Перенесемо в ліву частину вирази с співмножником , а в праву - з :

2. Відокремимо змінні .

3. Проінтегруємо почленно, знайдемо загальний розв’язок рівняння: .

4. З`ясувати, чи має рівняння розв`язок, який не отримано з загального інтегралу.

5. Розв’язавши задачу Коші, знайдемо частковий розв’язок.

3. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Функція називається однорідною функцією -го виміру, якщо при будь-якому має місце тотожність

Диференціальне рівняння першого порядку називають однорідним, якщо є однорідною функцією нульового виміру.

Диференційне рівняння першого порядку називають однорідним, якщо його можна представити у вигляді , де і - однорідні функції однакового виміру.

Алгоритм розв’язання однорідних диференційних рівнянь

Однорідне диференційне рівняння першого порядку зводиться до диференційного рівняння з відокремлюваними змінними підстановкою , де - нова невідома функція. Тоді, .

1. Покладемо , тобто . Тоді , і однорідне рівняння матиме вигляд: , або .

2. Диференціальне рівняння допускає відокремлення змінних. Справді, якщо , то матимемо , звідси .

3. Якщо - деяка первісна підінтегральної функції, то є загальним розв’язком диференціального рівняння.

Лінійні диференціальні рівняння І порядку.

Рівняння вигляду , де і - деякі функції від х називається лінійним диференціальним рівнянням І порядку.

Якщо =0, то рівняння прийме вигляд називається однорідним і розв’язується методом відокремлення змінних.

Теорема Коші. Нехай інтервал, в якому функції та неперервні. Тоді: для будь-яких та задача Коші с початковими значеннями має єдиний розв’язок, тобто існує єдине рішення рівняння, яке задовольняє початковій умові .

Метод розв’язання диференційних рівнянь першого порядку:

Розв’язання зводиться до рішення двох диференційних рівнянь з відокремленими змінними за допомогою підстановки , де та - невідомі функції від , а .

Наведемо алгоритм розв’язання рівнянь такого типу:

1. Підставимо значення та в рівняння та отримаємо .

2. Згрупуємо доданки, які мають однакову змінну та винесемо її за дужки, тоді маємо

3. Виберемо функцію так, щоб . Розв’яжемо отримане рівняння і знайдемо одне з частинних розв’язків функції .

4. Підставимо знайдене значення функції в рівняння . Отримаємо .

5. Розв’яжемо отримане рівняння, як рівняння з відокремлюваними змінними та знайдемо значення функції .

6. Замінимо в рівнянні значення функцій і та отримаємо рішення .

До рівнянь, які зводяться до лінійних, належить рівняння Бернуллі . У ньому та неперервні на проміжку , а - деяке дійсне число.

Розділ 2 Диференціальні рівняння вищих порядків

Диференціальні рівняння ІІ порядку.

Якщо диференціальне рівняння містить похідну або диференціал другого порядку, то воно називається диференціальним рівнянням другого порядку . Ми розглянемо одне з рівнянь другого порядку

Лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами.

Рівняння вигляду , де і - деякі числа називається лінійними диференціальними рівняннями ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Якщо , то диференціальне рівняння приймає вигляд і називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами.

В залежності від коренів характеристичного рівняння диференціальне рівняння має такі загальні розв’язки:

Складемо схему:

№ п/п	Корені рівняння	Загальний розв’язок
1.	D>0 Корені дійсні різні і
2.	D=0 Корені дійсні рівні
3.	D<0 Корені уявні різні

Рівняння виду називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням ІІ порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальне його рішення також можна записати у вигляді суми у_он = у_оо + у_чн, де - загальне рішення однорідного рівняння, у_{чн –} частинне рішення неоднорідного рівняння.

у_чн можна знайти методом невизначених коефіцієнтів в наступних випадках:

1. , де многочлен ступеня . Якщо не є коренем характеристичного рівняння, тобто , то кладуть, що , де - многочлен ступеню з невизначеними коефіцієнтами.

Якщо є коренем характеристичного рівняння, тобто , тоді , де - кратність кореня (, або )

2. . Якщо , то кладуть, що , де та - многочлени ступеню . Якщо ж , то , де - кратність коренів (для рівнянь 2-го порядку )

Розділ 3 Системи звичайних диференціальних рівнянь