Обработка экспериментальных данных / 1-5

Статистическое распределение случайной величины 3. Статистическое распределение случайной величины Основным типом погрешностей, изучению которых посвящено последующее изложение, являются случайные погрешности. Они поддаются строгому математическому описанию, что позволяет делать выводы о качестве измерений, в которых они присутствуют. Погрешности других типов более сложны для анализа, их выявляют и анализируют только в условиях конкретного эксперимента. Чтобы знать, как надлежит работать со случайными погрешностями, прежде всего рассмотрим приемы статистического описания случайных величин. Получение распределения случайной величины и его описание Рассмотрение начнем с предполагаемого эксперимента, в котором выполняют многократные прямые измерения какой-то случайной физической величины, проводимые без изменения условий эксперимента. Закономерности в поведении величины видны из гистограммы. Гистограмма – ступенчатая диаграмма, показывающая как часто при измерениях появляются результаты, попадающие в тот или иной интервал Dx между наименьшим xmin и наибольшим xmax из измеренных значений величины x. Гистограмму строят в следующих координатах: по оси абсцисс откладывают измеряемую величину x, по оси ординат – Dn/nDx (рис.3.1). Здесь n – полное количество проведенных измерений, Dn – количество результатов, попавших в интервал [x, x+Dx] .  

Рис.3.1. Гистограмма.   Отношение Dn/n есть доля результатов, оказавшихся в указанном интервале. Оно имеет смысл вероятности попадания результата отдельного измерения в данный интервал. Выражение Dn/(n-Dx), получаемое после деления Dn/n на ширину интервала Dx, приобретает смысл плотности вероятности.   При очень большом количестве измерений (n) весь диапазон изменения величины x можно разбить на бесконечно малые интервалы dx , как это делается в математике, и найти количество результатов dn в каждом из них. В этом случае гистограмма превратится в плавную кривую – график функции . (3.1) Такую функцию называют плотностью вероятности, или распределением вероятности, иногда – просто распределением величины x. Примеры конкретных распределений можно найти на рис.3.2. Распределение выступает в роли исчерпывающей характеристики случайной величины. Закон распределения можно задать в виде функционального выражения, графика, таблицы или каким-то другим способом. При любом варианте задания устанавливается связь между вероятностью того, что результат однократного измерения случайной величины попадет в заданный интервал возможных значений, и шириной этого интервала. Распределение содержит наиболее полную информацию о случайной величине, однако пользоваться им не всегда удобно. Оперируя результатами проведенного эксперимента, вместо функции распределения лучше иметь привычные числовые величины – ими являются среднее значение и дисперсия. Среднее значение измеряемой величины x указывает центр распределения, около которого группируются результаты отдельных измерений . (3.2) Дисперсию вводят как средний квадрат отклонения отдельных результатов от среднего значения случайной величины . (3.3)

) Среднее квадратичное отклонение , называемое также стандартным, определяют как квадратный корень из дисперсии . (3.4) Как следует из способа вычисления , эта величина характеризует разброс результатов отдельных измерений вокруг среднего значения, получаемого после обработки всех данных многократного измерения. Конечно, точные значения и являются предельными величинами, так как могут быть получены лишь тогда, когда полное количество проведенных измерений достаточно велико, в пределе при . При конечных n правильнее использовать термин экспериментальная оценка , который в равной мере относится и к среднему значению, и к дисперсии.   Обратим внимание на знаменатель выражений (3.3) и (3.4), который превращается в нуль при n=1. Насколько это правильно? Ведь в этом случае, казалось бы, s2 и s становятся бесконечно большими. Обратимся к реальной ситуации, соответствующей n=1, т.е. к эксперименту, в котором выполнено только одно измерение x1 величины x. Его недостаточно, чтобы построить гистограмму и найти из нее s2 . Значит, s2 и s оказываются полностью неопределенными вследствие недостаточности экспериментальной информации. Выражения (3.2) – (3.4) учитывают приведенные соображения: если n=1 , из (3.2) получается и, как следствие, числитель, и знаменатель в (3.3) и (3.4) одновременно обращаются в нуль. Это свидетельствует об ожидаемой неопределенности значения x. Строгое обоснование справедливости приведенных выражений делается в математической статистике.   Отметим, что среднее значение случайной величины нельзя расценивать как однозначный результат измерения. Иначе надо было бы полагать, что случайная величина всегда имеет только одно постоянное значение , чего не может быть в действительности из-за ее случайной природы. Случайные факторы, характеризующие форму распределения случайной величины, не связаны только с возможной неточностью измерительных приборов, а значит, среднее квадратичное отклонение s, описывающее форму распределения, объективно отражает характер поведения исследуемой случайной величины. <<|Оглавление||Бибилиотека|>>