Л.Р._Ш.И_2-6 / L4_Recur

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА "Вычисления методом рекурсии"

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение Рекурсивных методов вычисления выражений:

- решение задачи о размещениях;

- вычисление рядов;

- вычисление чисел Фибоначчи;

- вычисление методом хвостовой рекурсии;

- выполнение индивидуального задания.

Общие сведения

1. Способ решения задачи состоит в том, чтобы разбить исходную задачу на более мелкие подзадачи, решить их, а затем объединить подзадачи для того, чтобы получить решение исходной задачи.

Рис.1.

Если подзадача есть уменьшённым вариантом исходной задачи, то способ её разбиения и решения идентичен способу, применённому к исходной задаче. Такой процесс называется рекурсией.

3. В качестве примера рассмотрим родственные отношения, а именно отношение – «Предок». Если разбить эту задачу на подзадачи, то самой простой и искомой решённой подзадачей есть:

Предок(x, z): - Родитель(x, z). Смотри рис.2.

Предок(x, z):- Предок(x, z):- Предок(x, z):- Предок(x, z):-Родитель(x,y₁), Родитель(x,y₁), Родитель(x,y), Родитель(x,z).

Родитель(y₁,y₂), Родитель(y₁,y₂), Родитель(y,z).

Родитель(y₂,y₃), Родитель(y₂,z).

Родитель(y₃,z).

Рис.2.

… Предок(x, z):- Предок(x, z):- Предок(x, z):-

Родитель(x,y), Родитель(x,y), Родитель(x,z).

Предок(y, z). Предок(y, z).

4. Решение задачи состоит из фазы разбиения и фазы решения.

1 фаза: задача разбивается до тех пор, пока последняя подзадача не станет достаточно примитивной с известным решением

.

II фаза: выполняется решение более сложной задачи на основе наглядности решения простой подзадачи.

Восходящая стратегия (хвостовая рекурсия).

f(N,S): - f(N,S,N0,S0)

Для указания на «размер» Для записи

решённой к настоящему промежуточного решения

времени задачи (счётчик)

Два дополнительных параметра

Цель работы.

Нахождение суммы числового ряда методом рекурсии и вывод результатов в два окна.

Порядок выполнения работы.

1. Загрузить компилятор языка логического программирования PROLOG.

2. Составить и отладить программу вычисления суммы числового ряда методом общей и хвостовой рекурсии.

(Sum = 1+2+3+4+…+n–сумма числового ряда)

Общая	Хвостовая
Sum(0,0). Sum(N,S): - N1 = N –1, Sum(N1,S1), S = S1+N, N1>=0.	Sum(N,S): - Sm(N,S,1,0). Sm(N,S,N0,S0): - N0 <= N, N1=N0 + 1, S1= N0 + S0, Sm(N,S,N1,S1). Sum(_,S,_,S).

Ключевым моментом есть использование самого предиката Sum (общая, а Sm - хвостовая) в его определении. Такие определения и называются РЕКУРСИВНЫМИ.

3. Вывести результаты в окна.

В первое окно выводиться таблица сумм для 1, 2, …. 5 чисел числового ряда.

Во второе окно число N вводится с клавиатуры, после чего в окно выводится сумма числового ряда, состоящая из N количества чисел.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Составить и отладить программу вычисления числа перестановок из n объектов

predicates

fact(integer, integer)

clauses

fact(1, 1).

fact(N, P):-N1=N-1, fact(N1, P1), P=P1*N.

2. Составить и отладить программу вычисления суммы N натуральных чисел

3. Составить и отладить программу вычисления n-того числа Фибоначчи

predicates

fib(integer, integer)

clauses

fib(1, 1).

fib(2, 1).

fact(N, F) :- N1=N-1, N2=N-2, fib(N1, F1), fib(N2,F2), F =F1 + F2.

4. Составить и отладить программу вычисления предыдущих задач методом хвостовой рекурсии

predicates

clauses

f(N, R) :- fv(N, R, 1, 0).

fv(N, R, R0, I0):- I0 < N, - проверка на окончание

I1=I0+1, - модификация счетчика

R1=R0*I1, - вычисление текущего значения факториала

fv(N, R, R1, I1). - хвостовая рекурсия

fv (­_ , R, R, _ ).

5. На основе программы лабораторной работы "Родственные отношения" составить правило для определения понятий "предок" и "потомок"

ЗАДАНИЕ НА САМОСТОЯТЕЛЬНУЮ РАБОТУ

Вывести рекуррентную формулу для вычисления выражения

Подготовить тесты для проверки правильности работы программы.

Составить и отладить пролог-программу S(N, R) вычисления выражения методом общей (нисходящей) рекурсии.

Составить и отладить пролог-программу вычисления выражения методом хвостовой (восходящей) рекурсии.

Аргументами функции являются:

• число членов ряда - N;

• результат вычисления суммы - R.

ЗНАКОПОСТОЯННЫЕ РЯДЫ

1. Сумма квадратов натуральных чисел sum(i²), i=0..N

2. Сумма кубов натуральных чисел sum(i³), i=0..N

3. Сумма квадратов четных чисел sum((2i)²), 0=1..N

4. Сумма квадратов нечетных чисел sum((2i+l)²), i=O..N

5. Сумма кубов четных чисел sum((2i)³), i=0..N

6. Сумма кубов нечетных чисел sum((2i+l)³), i=0..N

7. Сумма чисел обратных натуральным числам. sum(l/i), i=l ..N

8. Сумма чисел обратных квадратам натуральных чисел. sum(l/i²), i=l..N

9. Сумма чисел обратных кубам натуральных чисел. sum(l/i³), i=l ..N 10.Сумма чисел обратных четным числам sum(l/(2i)), i=l ..N

11 .Сумма чисел обратных квадратам четных чисел sum(l/(2i)² ), i=l ..N 12.Сумма чисел обратных кубам четных чисел sum(l/(2i)³), i=l ..N 13.Сумма чисел обратных нечетным числам sum(l/(2i+l)), i=0..N 14.Сумма чисел обратных квадратам нечетных чисел sum(l/(2i+l)²), i=0..N 15.Сумма чисел обратных кубам нечетных чисел sum(l/(2i+l)³), i=0..N

ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ

1. Сумма квадратов натуральных чисел sum((-l)^I+1i²), i=0..N

2. Сумма кубов натуральных чисел sum((-l)^I+1i³), i=0..N

3. Сумма квадратов четных чисел sum((-l)^l+1 (2i)²), i=0..N

4. Сумма квадратов нечетных чисел sum((-l)⁺ (2i+l)² ), i=0..N

5. Сумма кубов четных чисел sum((-l)^I+1 (2i)³ ), 1=0..N

6. Сумма кубов нечетных чисел sum((-l)¹⁺¹ (2i+l)³), i=0..N

7. Сумма чисел обратных натуральным числам. sum((-l)^I+l/i), i=l ..N

8. Сумма чисел обратных квадратам натуральных чисел. sum((-l)^I+1/i²), i=l..N

9. Сумма чисел обратных кубам натуральных чисел. sum((-l)^I+1/i³),i=l..N

10. Сумма чисел обратных четным числам sum((-l)¹⁺¹/ (2i)), i=l..N

11 .Сумма чисел обратных квадратам четных чисел sum((- 1 )¹⁺¹/ (2i)²),i=l..N

12. Сумма чисел обратных кубам четных чисел sum((-l)¹⁺¹/ (2i)³), i=l ..N

13. Сумма чисел обратных нечетным числам sum((-l)^I+1/ (2i+l)),i=l..N

14. Сумма чисел обратных квадратам нечетных чисел sum((-l)^I+1/(2i+l)²),i=l..N

15 .Сумма чисел обратных кубам нечетных чисел sum((- 1 )^I+1/(2i+l)³),i=l..N

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

1. cos(x) = 1 – х²/2! + х⁴/4! – ... + (-1)"* х^2п/(2n)! n=0, 1, 2 ..

2. sin(x) = 1 – х³/3! + х⁵/5! – ... + (-1)"* х^2п+1/(2n+1)! n=0, 1, 2 ..

3. sh(x) = 1 + х³/3! + х⁵/5! + ... + х^2п+1/(2n+1)! n=0, 1, 2 ..

4. ch(h) = 1 + х²/2! + х⁴/4! + . . . + х^2п/(2n)! n=0, 1,2..

5. ехр(х) = 1 + х¹/!! + х²/2! + ... + х^п/(n)! n=0, 1, 2 ..

6. 1п(х+1) = х – х²/2 + х³/3 + . . . + (-1)"'¹ * (х^п/n) ) n= 1, 2 .. –1 <= х <= 1

ПОЛИНОМЫ

1 . Полином Лагерра L_n+1(x) = (2*n+l – x)*L_n(x) - n² *L_n-1(x)

L₀=l L₁=l–x

2. Полином Эрмита H_n+1(x) = 2*x*H_n(x) - 2*п*Н_n-1(х)

Н₀=1 Н₁=2х

3. Полином Лежандра

Р_п+1(х) = (2*n+1) / (n+1)*х*Р_n(х) -( n/(n+1))*Р_n-1(х)

Р₀=1 P₁=x

4. Полином Чебышева T_n+1(x)=2*x*T_n(x)-T_n-1(x)

Т₀=1 Т₁=х