Higher_Mathematics_Part_2
.pdf5.7. Three trigonometric substitutions |
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|||
Integrals in the form |
∫ R(x, |
ax 2 + bx + c )dx can be found by using a |
||
trigonometric substitution, if the integrand is a rational function of x and: |
||||
1. |
a − x2 |
let |
x = |
a sin t. |
2. |
a + x2 |
let |
x = |
a tg t. |
3. |
x2 − a let |
x = |
a sect. |
The motivation behind this general procedure is quite simple.
1. If you replace x in a − x2 by |
x = a sin t you obtain: |
a − x2 = a − ( a sin t)2 |
= a − a sin2 t = a 1− sin2 t = |
= a cos2 t = a cost.
The important thing is that the square root sign disappears.
2. |
a + x2 = |
a + a tg2 t = |
a |
1+ |
sin2 t |
|
= |
|
|||
cos2 t |
|
||||||||||
|
|
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|||
|
|
= |
a |
cos2 t + sin2 t |
= |
a |
= a sec t. |
||||
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|
cos2 t |
cost |
|||||||
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||||
3. |
x2 − a = |
a |
− a = |
a |
1− cos2 t |
= a tg t. |
|||||
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cos2 t |
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|
cos2 t |
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Т.5 |
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Typical problems |
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Find the integrals |
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1. ∫ |
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dx |
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. |
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1 − x − 2x2 |
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Solution. Complete the square: |
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|||||||||||||||
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2 |
|
2 |
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|
x |
|
1 |
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1 |
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2 |
|
1 |
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|
1 |
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9 |
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1 |
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|
2 |
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||||
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||||||||||||||||
1−x − |
2x |
|
=−2 x |
|
+ |
|
|
− |
|
|
= −2 |
|
x + |
|
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
= |
2 |
|
− |
|
x + |
|
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. |
|||||||||
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|||||
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2 2 |
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4 |
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16 2 |
|
16 |
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4 |
||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
Then |
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∫ |
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dx |
|
= ∫ |
|
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|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
|
∫ |
|
|
|
d(x + 1/ 4) |
2 |
= |
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 − x − 2x2 |
|
|
|
|
|
|
9 |
− (x + |
1 |
) |
2 |
] |
|
2 |
|
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|
3 |
2 |
|
|
1 |
|
|
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|
|||||||||||||||
|
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|
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|
2[ |
|
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|
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|
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|
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|
− x |
+ |
|
|
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|||||||||
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|
|
|
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|
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|
16 |
4 |
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x + 1/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
1 |
= |
|
|
1 |
|
arcsin 4x + 1 |
+ C . |
|
|
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|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 / 4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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131 |
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2. ∫ |
(x − 2)dx |
. |
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|||||
|
4x |
2 + 4x + 17 |
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||||||
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|
derivative (4x 2 + 4x + 17)′ = 8x + 4 , |
|
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||||||||||||||||||||||
|
Solution. |
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Given the |
|
the |
numerator |
|||||||||||||||||||||||||
transforms to the form: |
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1 |
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5 |
|
|
1 |
|
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|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||
|
x − 2 = |
1 |
(8x + 4) − |
4 |
− 2 = |
(8x +4)− |
= |
|
(4x2 +4x +17)′− |
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Then |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
1 |
(8x + 4) − |
5 |
)dx |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∫ |
(x − 2)dx |
|
= ∫ ( |
|
|
|
1 |
|
∫ d(4x 2 + 4x + 17) − |
|
||||||||||||||||||||
|
|
8 |
2 |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
4x 2 + 4x + 17 |
|
|
|
|
4x 2 + 4x + 17 |
|
8 |
|
|
|
4x 2 + 4x + 17 |
|
|||||||||||||||||
|
− |
5 ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
= |
1 |
|
4x 2 + 4x + 17 − 5 |
∫ |
d(2x + 1) |
= |
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
4x |
2 |
+ 4x + 17 |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
(2x + 1) |
2 |
+ 16 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= 1 |
|
4x 2 + 4x + 17 − |
5 ln 2x + 1+ 4x 2 |
+ 4x + 17 + C. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ 2 u |
|
|
|
|
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|
||
|
We |
used |
|
the |
|
given |
|
|
table |
integrals: |
|
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|
u |
+ C |
and |
|||||||||||||||
|
|
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|
du = |
||||||||||||||||||||||||
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
= ln |
u + u2 ±a2 |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
u2 ±a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||
|
3. ∫ |
3 |
x |
|
dx . |
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
||
|
x + 3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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Solution. The smallest multiple of 2 and 3 is 6. This suggests the substitution x = t 6 , dx = 6t 5 dt . Then
∫ |
3 x |
dx = ∫ |
|
|
t 2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
6∫ |
t 4 |
|
|
6∫ |
(t 4 |
− 1) + 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6t |
|
dt = |
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
dt |
= |
||||||||||||
|
|
|
t |
3 |
+ t |
4 |
|
t + |
|
|
t + 1 |
|||||||||||||||||||||
|
x + 3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
6∫ |
|
(t 2 + 1)(t − 1)(t + 1) + 1 |
|
= 6∫(t 2 + 1)(t − |
|
|
6∫ |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
1)dt + |
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
t + 1 |
|
|
|
|
|
t + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
= 6∫ (t 3 − t 2 + t − 1)dt + 6∫ |
|
dt |
|
= |
|
3 |
t 4 |
− 2t 3 |
+ 3t 2 |
− 6t + 6 ln |
|
t + 1 |
|
+ C = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
t + 1 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 3 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
− 2 x + 3 3 |
x − 6 6 x + 6 ln 6 x + 1 + C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. I = ∫ |
x34− 3 x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
132 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
Solution. |
I = |
|
|
x = t12 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
(t18 − t4 )12t11dt |
= |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dx = 12t11dt; |
|
|
|
|
|
|
6t3 |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
27 |
|
|
|
|
t |
13 |
|
|
|
|
||||
|
|
= 2 |
∫ |
(t18 |
|
− t4 )t8dt = 2 |
∫ |
(t26 |
− t |
12 )dt = 2 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
+ C = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
13 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 2x2 12 x3 |
− |
2x12 x |
+ C = |
|
2x2 4 x |
− |
2x12 x |
+ C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. I = ∫ |
33 x − 1 + xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
3x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x − 1 = t6 |
|
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|
|
|
|
t3 + |
t6 |
+ |
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1 |
2t5dt |
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6 |
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t |
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1 |
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3 |
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3 |
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Solution. |
I = |
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x = |
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∫ |
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|||||||||||||||
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+ |
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= |
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= |
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|||||||||||||||
3 |
|
3 |
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t2 |
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dx = 2t5dt |
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||||||||||||
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2 |
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∫ |
(3t6 |
+ t9 + t3 )dt = |
|
2 |
|
|
3t |
7 |
|
|
|
|
|
|
t |
10 |
|
|
|
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|
t |
4 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
= |
|
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|
+ |
|
|
+ |
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+ C = |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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3 |
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7 |
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10 |
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4 |
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||||||||||||
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|||||||||||||||
|
|
= |
2 |
(3x −1) 6 3x −1 + |
1 |
(3x −1) 3 |
|
(3x −1)2 |
+ |
1 |
3 (3x −1)2 + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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15 |
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6 |
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7 |
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6. ∫ |
x 24+ 1+ x dx . |
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||||||||||||
|
1+ x |
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|||||
Solution. Let1+ x = t 4 , then |
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x = t 4 − 1 , |
dx = 4t 3 dt . |
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Consequently, |
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||||||
∫ x 24+ 1+ x dx = ∫ |
(t 4 − 1)2 + t 2 |
4t 3dt = 4∫ ((t 4 − 1)2 + t 2 )t 2 dt = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+ x |
|
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t |
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4 |
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8 |
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|
4 |
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4 |
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||||||||||||||
|
= 4∫ (t |
10 |
|
|
2t |
6 |
|
+ t |
2 |
+ t |
4 |
)dt |
|
|
|
t |
11 |
|
t |
7 |
|
|
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t |
3 |
|
|
|
t |
5 |
+ C = |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
− |
|
|
|
|
|
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|
|
|
= |
|
|
|
− |
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|
+ |
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|
|
+ |
|
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|
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11 |
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|
7 |
|
|
3 |
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|
5 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 4 4 |
(1 |
+ x)11 |
|
− |
8 4 |
(1+ x) |
7 + |
|
|
4 4 (1+ x)3 + 4 4 |
(1+ x)5 + C . |
|
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|
11 |
|
|
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7 |
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3 |
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5 |
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||||||||||||
7. ∫ |
|
|
dx |
|
|
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|
. |
|
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|
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||||
4 (x −1)3 (x + 2)5 |
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|||||||||||||||
Solution. |
|
In |
this |
|
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|
case |
|
|
4 (x − 1)3 (x + 2)5 |
|
|
|
= (x − 1)(x + 2) 4 |
x + 2 |
and an |
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x − 1 |
|
integrand is a rational function of |
|
x and 4 |
x + 2 . |
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x − 1 |
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||||
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133 |
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The substitution |
x + 2 |
= t 4 is appropriate: |
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|||||||||||||||||||||
x − 1 |
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|||||||||||||||||||||||
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|
|||||
|
|
x = |
t 4 |
|
+ 2 |
, |
|
|
x − 1 = |
|
3 |
|
|
, |
x + 2 = |
|
3t 4 |
|
|
dx = − |
|
12t 3dt |
|
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t 4 |
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
t4 |
− 1 |
|
|
|
|
|
t 4 |
− 1 |
|
|
(t 4 |
− 1)2 |
|
|
|
|
||||||||||||
Then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
4 (x −1)3 (x + 2)5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x − 1)(x + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= ∫ |
t 4 |
− 1 |
|
t 4 |
|
− 1 |
|
1 |
|
− 12t 3 |
|
dt = |
− |
4 |
∫ |
dt |
= |
4 |
|
+ C = |
4 |
4 |
x − 1 |
+ C . |
||||||||||||||||||
|
3 |
|
3t |
4 |
|
t |
|
(t |
4 |
− 1) |
2 |
3 |
t |
2 |
|
|
3t |
|
3 |
x |
+ |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.I = ∫ x − 2 − x + 1dx.
x x − 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
− |
|
x + 1 |
|
|
1 |
− |
|
x +1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Solution. I = ∫ |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
x |
dx = |
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|||||
|
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|
x + 1 |
= t2 |
x + 1 = xt2 − 2t2 |
|
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|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x − 2 |
|
|
|
|
|
(1− t) t (t2 −1)dt |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
xt |
2 |
− x |
= 2t |
2 |
+ 1 |
x = |
2t2 + 1 |
|
= −6∫ |
= |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t2 −1 |
|
(2t2 + 1)(t2 −1)2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx = − |
|
6tdt |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(t2 −1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 6∫ |
|
|
|
|
|
(t −1) tdt |
|
= 6∫ |
|
|
tdt |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(2t2 + 1)(t −1)(t + 1) |
(2t2 + 1)(t + 1) |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
2t + 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 2 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
dt = |
|
ln 2t |
|
|
+ 1 + |
|
2 arctg( |
|
2t) − 2 ln t + 1 + C = |
||||||||||||||
2t2 + 1 |
t + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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3x |
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x + 1 |
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= ln |
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|||
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|||
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x − 2 |
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x − 2 |
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2 |
+ |
2arctg 2(x + 1) + C. |
+ 1 |
||
|
|
x − 2 |
|
|
134
Integration of the binomial differentials
9. ∫ x (3 − 3 x )2 dx .
Solution. Multiplying the integrand we get
1 1 2 1 5 7
∫ x (3 − 3 x )2 dx = ∫ x 2 (9 − 6x 3 + x 3 )dx = ∫ (9x 2 − 6x 6 + x 6 )dx =
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3 |
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36 |
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11 |
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6 |
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13 |
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||||||||
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= 6x |
2 |
− |
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x |
6 |
+ |
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x |
6 |
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+ C . |
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dx |
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11 |
13 |
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|||||||||||
10. I = ∫ |
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. |
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||||||
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x (3 x + 1)2 |
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|||||||||||||||||
Solution. This p is an integer number and is equal to |
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−2. Thus: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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I = ∫ x |
− |
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1 |
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1 |
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−2 |
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x = t |
6 |
; |
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|
= 6∫ |
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t |
2 |
dt |
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|||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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3 |
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||||||||||||||||||||||||||||||
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x |
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+ |
1 dx = |
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= |
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5 |
dt; |
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(1+ t |
2 |
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2 |
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dx = 6t |
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|
) |
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|||||||||||||||||||||||
|
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|
− |
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3t |
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+ 3arctgt + C = − 36 x |
|
+ 3arctg 6 |
x + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1+ t2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1+ 3 |
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x |
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11. I = ∫ |
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5 |
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xdx |
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. |
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|||||||
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|
3 − 25 x3 |
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Solution. Multiplying the integrand we get |
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5 |
xdx |
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1 |
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3 |
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1 |
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|||||||||||||
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I = ∫ |
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= |
∫ x5 (3 − 2x5 )2 dx. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 − 25 x3 |
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||||||||||||||
Here m = |
|
1 |
; n = |
3 |
|
and |
|
m + 1 |
= 2 |
|
– an integer number. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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n |
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3 |
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|
|
|
|
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|
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|
3 − t2 |
5 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
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2 |
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3 |
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||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||
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1 |
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3 |
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|
− |
1 |
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3 − |
2x5 = t |
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x = |
|
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|
; |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∫ |
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2 |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||
Thus I = |
x5 |
|
− 2 |
x |
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dx = |
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2 |
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|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
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3 |
5 |
|
|
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5 |
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3 − t2 |
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|||||||||||
|
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3 |
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|||||||||||||||||
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|
|
|
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dx = − |
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|
t |
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|
|
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|
dt; |
|
|
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|
||||||||||||
|
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3 |
2 |
|
|
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||||||||||||||||||||
|
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|
|||||||
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1 |
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2 |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − t2 |
|
|
|
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|
−1 5 |
|
|
3 |
− t2 |
|
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|
|
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5 |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
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|
|
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2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
t − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = − |
|
|
|
∫(3 − t )dt = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
6 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
3 |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − |
5 |
t + |
|
5 |
|
t3 |
|
+ C = |
|
5 |
|
|
|
(3 − 25 x3 )3 − |
5 |
|
|
|
3 − 25 x3 + C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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18 |
|
18 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
|
|
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|
|||||||||||||||||
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135 |
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12. ∫ |
|
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|
dx |
|
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. |
|
|
|
|
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x11 1+ x |
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|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
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||||||||||
Solution. Transforming the integrand we get |
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|
|
|
|
I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
= ∫ x −11 (1+ x 4 )− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x11 |
|
|
2 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1+ x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Here p = − |
, |
m = −11, |
n = 4 . Thereby |
|
+ p = −3 |
is |
|
the integer |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
n |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||
number, we have the third case. Transforming the integrand we get |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x11 x 2 |
x −4 + 1 |
x13 |
|
|
x −4 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
This |
suggests |
the substitution |
x −4 + 1 = t 2 , |
|
− 4x −5 dx = 2tdt . |
|
Therefore, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −4 = t 2 − 1, |
x −5 dx = − |
1 |
tdt . Multiplying both numerator and denominator by |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x −5 , we get |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|
|
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||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −5 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x8 |
x −4 + 1 |
(x −4 )−2 |
x −4 + 1 |
(t 2 − 1)−2 |
|
t 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
1 |
|
∫ (t 2 − 1) |
2 dt = − |
|
1 |
|
∫ (t 4 |
− 2t 2 + 1)dt = − |
|
1 |
|
|
t 5 |
+ |
|
1 |
|
t 3 |
− |
1 |
|
t + C = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
1 |
+ x |
4 5 |
1 |
|
1 |
+ x 4 3 |
− |
1 1 |
+ x |
4 |
+ C . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
+ |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||
Euler substitutions |
|
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|
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|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
13. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1+ |
x2 + 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Solution. Here a = 1 |
|
> 0 . We can use the substitution |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 + 2x + 2 = t + x . |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Then |
|
x |
2 |
+ 2x + |
2 = t |
|
2 |
|
+ 2tx + x |
2 |
, 2x |
+ 2 = t |
2 |
+ 2tx , |
|
x |
= |
|
|
t 2 |
− |
2 |
|
|
, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(1 |
− t) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
dx = |
|
− t 2 + 2t − 2 |
|
dt |
, 1+ x |
2 |
+ 2x |
+ 2 |
= 1+ t |
+ |
|
t 2 |
− |
2 |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
t |
2 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2(1− t)2 |
|
2(1− t) |
|
|
2(1− t) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Thereafter we get an integral |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
(−t 2 |
+ 2t − 2) |
|
|
2(1− t) |
dt |
= |
∫ |
|
t 2 − 2t + 2 |
|
dt . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ |
x2 + 2x + 2 |
|
|
2(1− t) |
2 |
|
|
|
(−t |
2 |
) |
|
|
|
|
(1− t)t |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
To express the integrand as the sum of partial fractions:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 − 2t + 2 |
|
= |
|
|
A |
|
|
+ |
|
B |
|
+ |
|
|
C |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
With equality |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1− t)t 2 |
|
|
t 2 |
|
|
|
t |
|
|
1− t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t 2 − 2t + 2 = A(1− t) + Bt(1− t) + Ct 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
computing the unknown coefficients: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2 : − B + C = 1 , B = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t = 0 : A = 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
t = 1: C = 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Consequently, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∫ |
t 2 − 2t + 2 |
dt = 2∫ |
dt |
|
+ ∫ |
|
|
dt |
|
|
= − |
|
2 |
− ln |
|
t − 1 |
|
+ C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1− t)t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
1− t |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Replacing t by |
|
|
|
x2 + 2x + 2 − x . Thus |
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ln1+ x − x 2 + 2x + 2 + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ 1+ x 2 + 2x + 2 |
|
|
x − x 2 + 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||
14. I = ∫ |
9 − x2 |
dx. |
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
||||||||
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||
Solution. Here the integrand is polynomial in which a = −1 < 0 and c = 9. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We use the second Euler substitution: 9 − x2 |
= tx − 3 |
|
− 6(t2 −1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 − x |
2 |
= t |
2 |
x |
2 |
|
− 6xt + 9 x = |
|
|
6 t |
|
|
|
dx = |
dt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t2 + 1 |
|
|
|
(t2 + 1)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hence |
|
|
|
|
|
|
|
|
6t2 |
|
|
|
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|
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|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
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|
− 3 (t |
|
− 1)dt |
|
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|||||||||||
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2 |
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4 |
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2 |
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||||||||||||||||
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+ 1 |
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t |
− |
2t |
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+ |
1 |
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||||||||||||
I = −6 |
∫ |
|
t |
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|
= −9 |
∫ |
|
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|
dt. |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
2 |
|
2 |
|
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|
6t |
|
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|
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2 |
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|
|
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|
2 |
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|
|
2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||
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(t |
+ 1) (t |
+ 3t) |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(t |
|
|
+ 1) |
|
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|
+ 2 |
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 |
|
+ 1 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
t |
|
|
|
|
|
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|||||
Multiplying the integrand we get |
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|
|
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|
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|
|
|
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5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2t |
|
|
|
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|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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I = −9 |
|
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|
|
|
|
|
− |
|
|
|
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|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
dt = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
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|
2 |
|
|
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|
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|
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|
2 |
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|
|
2 |
|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
9 t + 3t + 1 3 (t |
+ 1) |
|
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|
9 t + 1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
5 ln 2t + 3 − |
|
|
5 |
|
− |
t |
|
6 |
|
− 4arctgt |
|
+ C, |
when t = |
9 − x2 + 3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2t + 3 + 5 |
|
|
|
|
2 + 1 |
|
|
|
|
|
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|
x |
|
|||||||||||||||||
15. I = ∫ |
|
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|
dx |
|
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. |
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|
|
(x + 1) x |
2 + 4x |
+ 2 |
|
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||||||||||||||||||
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Solution. This suggests the substitution |
|
x + 1 = |
|
|
and dx = − |
|
, hence |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||
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|
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|
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|
|
|
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|
137 |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
I = −∫ |
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt2 = − |
∫ |
|
|
1 |
dt |
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
+ |
2 |
|
− 1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 |
|
+ 4 |
|
|
|
− 1 |
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
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||||||||||||||
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|
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|
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|
|
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|||||||||||||||||||||
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|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||||||
|
|
= −∫ |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
= −∫ |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
= − arcsin t − 1 + C |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1+ 2t − t2 |
|
|
|
2 − (t − 1)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= − arcsin |
|
x + 1 |
+ C = arcsin |
|
|
|
|
|
|
+ C . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
2(x + 1) |
|
|
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|
|||||||||
Trigonometric substitution |
|
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|
|||||||||||||||||||||||||
16. |
I = ∫ |
|
3 − 2x |
− x 2 |
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(x + 1) |
2 |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
||||||||
Solution. Completing the square of the radicand: |
|
|
3 − 2x − x 2 = 4 − (x + 1)2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Letting |
x + 1 = 2 sin t , dx = 2 cos tdt , we obtain then |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I = ∫ |
|
4 − (x + 1)2 |
|
= ∫ |
|
|
4 − 4 sin 2 t |
2 cos tdt |
= ∫ |
|
2 cos t |
|
2 cos tdt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x + 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 sin |
2 |
|
t |
|
|
4 sin |
2 |
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
= ∫ |
|
cos 2 t |
dt |
= ∫ |
1− sin |
2 t |
dt |
= ∫ |
|
|
dt |
|
|
−∫ dt =−ctg t −t +C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
2 |
t |
|
sin |
2 |
t |
|
sin |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Replacing t by arcsin |
x + 1 |
. Thus |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− sin 2 t |
|
|
|
|
1− |
|
(x |
+ 1) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
ctg t = |
|
cos t |
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
= |
|
|
3 − 2x − x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|
x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Consequently, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = − |
3 − 2x − x 2 |
− arcsin |
x + 1 |
+ C . |
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
x + 1 |
|
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|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
17. |
I = ∫ |
|
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|
xdx |
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||||||
3 |
|
− |
|
|
9 + x |
2 |
|
|
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|
|
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|
|
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||||||||||
|
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|
|
|
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138
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x = 3tg t |
|
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3tg t |
3dt |
|
|
|
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||||||
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3dt |
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|
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||||||||
Solution. |
I = |
dx = |
|
|
|
= ∫ |
|
cos2 t |
= |
|
|
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|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||||
cos |
2 |
t |
|
3 |
− |
9 |
+ 9 tg2 t |
|
|
|
|||||||||||
|
|
t = arctg |
x |
|
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|
|
|
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|
|||
|
|
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|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3∫ |
|
sin tdt |
|
|
|
|
|
z = cost |
|
= −3∫ |
dz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= |
|
dz = − sin tdt |
|
= I. |
||||||||||||||
|
cos2 t(cost − 1) |
|
|
z2 (z − 1) |
This integral can be found by the partial fractions:
|
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|
|
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|
1 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B C |
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(B + C)z2 + (A − B)z |
− A |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
z2 (z − 1) |
|
z2 |
|
|
z |
|
z − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
z2 (z − 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B + C = |
0 |
|
|
|
|
|
|
= 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
A − B = |
0 |
B |
= −1; then |
I = −3 |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
dz = |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
z |
z − 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
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|
− A = 1 |
|
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|
|
|
A |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= −3 |
1 |
− ln |
|
z |
|
+ ln |
|
z − 1 |
|
|
+ C = − |
|
|
3 |
|
+ 3ln |
|
cost |
|
− 3ln |
|
cost −1 |
|
+ C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
z |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
|
t = arctg |
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
||||||||
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|||||||||
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|||||||||
= |
cost = |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
9 + x2 + 3ln |
|
|
2 |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
9 + x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ tg |
x |
|
|
|
1 |
+ |
x |
2 |
|
|
|
|
9 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
− 3ln 3 − |
|
9 + x2 |
|
+ C = C − |
|
|
9 + x2 |
+ 3ln 3 − 3ln |
|
|
9 + x2 |
+ 3ln |
|
|
9 + x2 |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
9 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− 3ln 3 − |
9 + x2 |
|
= C − |
9 + x2 |
|
|
|
9 + x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− 3ln |
3 − |
|
|
+ 3ln 3. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Exercises for class and homework |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
Т.5 |
|
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|
|
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Find the integrals |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x − 5)dx . |
|||||||||||||||||||||
1. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
2. ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. ∫ |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 + 6x + 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 + 2x − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 2 − 12x + 15 |
|||||||||||||||||||||||||||
4. ∫ |
(6x + |
1)dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. ∫ |
(2 sin x − 1) cos xdx |
|
. |
|
|
|
|
6. ∫ |
|
dx |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x − x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 + 4 sin x − sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
x + |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
139
7. ∫ 3 x + 1 |
|
dx |
3 . |
|||
|
|
x − 1 |
(x |
− 1) |
|
|
10. |
∫ |
|
dx |
|
. |
|
x( x + 5 |
|
|||||
|
|
x 2 ) |
||||
13. |
∫ |
3 |
x |
dx . |
||
1+ 3 x 2 |
||||||
|
|
|
|
|||
16. ∫ |
|
dx |
|
. |
||
x + |
|
|
||||
|
|
x 2 − x + 4 |
||||
19. |
∫ |
x 2 dx |
|
. |
||
x 2 + 2x + 5 |
||||||
|
|
|
||||
22. |
∫ |
x 2 dx |
|
. |
||
x 2 − 2x + 2 |
||||||
|
|
|
||||
25. |
∫ |
x 4 dx |
|
. |
||
x 2 + 4x + 5 |
||||||
|
|
|
28.∫ 2x + x 2 dx .
x2
8. |
∫ |
6 xdx3 . |
9. ∫ |
|
x − 3 |
|
dx . |
|||
|
|
1+ |
x |
|
|
x |
|
x |
||
11. |
∫ |
1− |
x dx . |
12. ∫ |
3 4 x + 1dx . |
|||||
|
|
1+ |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
∫ |
x7 |
15. ∫ |
|
dx |
|
|
|
||
14. |
|
dx . |
|
|
|
|
|
. |
||
|
x(1+ x |
3 |
) |
1/ 4 |
||||||
|
|
1+ x 2 |
|
|
|
|
||||
17. |
∫ |
x (1+ 2 6 x )3dx . |
18. ∫ 3 |
dx |
3 . |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
20.∫
23.∫
26.∫
29.∫
|
dx |
|
. |
|
|
(2x − 3) 4x − x 2 |
|
||||
|
|
||||
|
dx |
|
|
. |
|
(x − 1) 6x − x 2 − 5 |
|||||
|
|||||
dx |
. |
|
|
||
x 2 + x − x 2 |
|
|
|||
|
|
|
|||
1+ x 2 |
dx . |
|
|
|
|
2 + x 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
21. ∫ |
|
dx |
|
. |
|
(6x − 8 − x2 )3 |
|||||
|
|
||||
24. ∫ |
|
dx |
. |
|
|
x |
x2 + x + 1 |
|
|||
|
|
|
27. ∫ (2x 2 − 3x)dx . x 2 − 2x + 5
∫xdx
30..
x− x 2 − 1
Answers
1. ln x + 3 + |
|
x2 + 6x + 11 + C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. arcsin |
x − 1 |
+ C . |
|
|
|
|
3. |
3 |
|
2x2 − 12x + 15 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+2 2 ln | x − 3 + |
|
x2 − 6x + 15 / 2 | +C . 4. |
|
− 6 |
|
|
x − x2 + 4arcsin(2x + 1) + C . 5. |
−2 |
|
5 + 4t − t2 + |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
t − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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6. |
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4 |
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|
|
4 |
|
|
|
|
|
7. |
3 |
3 |
x |
+ |
1 4 |
|
||||||||||||||
+3arcsin( |
|
|
|
) + C , |
where |
|
t = sin t . |
|
|
2 |
|
x − 4 |
|
x + 4ln1+ |
|
|
x |
+ C . |
16 |
|
x |
− |
1 |
|
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
3 |
x + |
1 7 |
|
|
|
|
6 |
6 |
x |
5 |
− 2 |
|
x + 6 |
6 |
x − 6arctg |
6 |
|
x + C . |
11. |
( |
|
x − 2) |
|
1− x − arcsin |
|
|
x + C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
28 |
|
x − |
1 |
|
+ C . 8. |
5 |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. |
12 3 |
|
4 |
x |
+ 1) |
7 |
− |
3 |
|
4 |
|
x + |
|
4 |
+ C . 13. |
u |
3 |
− 3u + C ,where u |
= (1+ x |
2 / 3 1/ 2 |
. 14. |
t7 |
− |
|
3 |
t |
5 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|
( |
|
|
3 |
( |
|
|
1) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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15 |
|
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|
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|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+t3 − t + C , |
where |
t = |
|
|
1 + x2 . 17. |
|
− |
ln |
|
t − 1 |
|
+ 8ln |
|
2t + 1 |
|
− |
|
ln |
|
t + 1 |
|
+ |
|
|
+ C , |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
t |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
where t = |
|
x2 − x + |
4 + 2 |
|
. |
18. |
1 |
ln |
u2 |
+ u + 1 |
− |
1 |
|
arctg |
2u + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1+ x3 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
6 |
(u − 1)2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
+ C , where u = |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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