Higher_Mathematics_Part_1
.pdfy′ = f ′(u) g′(x).
In other words, the derivative of the composite function y = f (u) where
u = g(x) |
equals the product of the derivative of external function taken with |
|||||||||||||||||||||||||||
respect to internal argument |
u , and that of internal function taken with respect |
|||||||||||||||||||||||||||
to independent variable x. |
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||||||||||||
If u(x) is the |
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function |
differentiable |
at |
point x, |
the |
following |
rules are |
||||||||||||||||||||
fulfilled: |
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Table 17.2 |
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|||||
1. (un )′ = nun−1u′ |
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2. ( u )′ = |
1 |
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u′ |
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|||||||||||||
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2 u |
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3. (au )′ = au ln a u′ |
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4. (eu )′ = eu u′ |
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||||||||||||||||
5. |
(loga u)′ = |
|
1 |
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u′ |
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6. |
(ln u)′ = |
1 u′ |
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||||||||
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u ln a |
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u |
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||||||
7. |
(sin u)′ = cosu u′ |
|
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8. |
(cosu)′ = − sin u u′ |
|
|||||||||||||||||||||
9. (tg u)′ = |
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1 |
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u |
′ |
|
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10. |
(ctg u)′ = − |
|
1 |
u′ |
|
|||||||||||
cos2 u |
|
|
|
sin2 u |
|
|||||||||||||||||||||||
11. |
(arcsin u)′ = |
|
|
|
1 |
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|
u′ |
|
12. |
(arccos u)′ = − |
1 |
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|
u′ |
||||||||||||
|
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|
1− u2 |
||||||||||||||||||||||
|
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1− u2 |
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|||||||
|
|
(arctg u)′ |
1 |
|
u′ |
|
|
|
|
|
(arcctg u)′ = − |
1 |
|
u′ |
|
|||||||||||||
13. |
= |
|
|
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|
14. |
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||||||||||||||||||
1+ u2 |
|
|
|
1+ u2 |
|
|||||||||||||||||||||||
15. (sh u)′ = ch u u′ |
|
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|
16. |
(ch u)′ = sh u u′ |
|
||||||||||||||||||||||
17. |
(th u)′ = |
|
1 |
|
u |
′ |
|
|
|
18. |
(cth u)′ = − |
|
1 |
|
u′ |
|
||||||||||||
ch2u |
|
|
|
sh2u |
|
Micromodule 17
EXAMPLES OF PROBLEMS SOLUTION
Example 1. Using the definition of the derivative, find the derivative of the function y = x2 .
Solution. According to the definition of the derivative, we have
201
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
(x2 )' = lim |
|
f (x + |
x) − f (x) |
= lim |
(x + |
x)2 − x2 |
= |
|||
x→0 |
x |
x→0 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
= lim x→0 |
|
x2 + 2x x + |
x2 − x2 |
= lim x→0 (2x + |
x) = 2x |
|
||||
|
|
x |
|
|
||||||
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|
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Example 2. Find the derivative of the function y = cos x by the definition. Solution. We write the increment of function
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y = cos(x + |
x) − cos x. |
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Remember the first honorable limit |
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|||||||||||
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lim x→0 |
sin x |
= 1 |
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|||||||||
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x |
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as well as formula |
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cos x − cos y = −2sin |
x − y |
sin |
x + y |
. |
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|||||||||||||||
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||||||||||||||||
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2 |
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|
2 |
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|||
Then |
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x |
|
x |
|
(cos x) |
' |
= lim |
x→0 |
cos(x + x) − cos x |
= lim x→0 |
−2sin |
2 sin(x |
+ 2 ) |
= |
|||||||||||||||||||
|
|
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|
x |
|
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|
x |
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||||||||||||||
|
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||
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|
− sin |
x |
|
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|
|
x) = −1 sin x = − sin x. |
||||||||||||
= lim |
|
|
2 |
lim |
|
|
sin(x + |
|
||||||||||||||||||||
x→0 |
|
x |
|
x |
→0 |
|||||||||||||||||||||||
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|
2 |
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||||||||
|
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|
2 |
|
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Example 3. Find the derivative of the function |
y = 3 x |
at point |
x = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
Solution. We have |
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|||||
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|
lim |
3 |
x + x −3 |
x |
= |
lim |
3 |
0 + x −3 |
0 |
= |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
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|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
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|
|
|||||||
|
|
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|
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= lim |
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1 |
= ∞. |
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|||||||||
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||||||||||
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x→0 ( x)23 |
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|
|||||||
So the limit increases infinitely when |
x → 0. Therefore the derivative of the |
|||||||||||||||||||||||||||
function y = 3 x |
|
at point |
x = 0 does not exist. It might be said, as well, that |
|||||||||||||||||||||||||
there exists no derivative of continuous function |
y =| x | |
within the complete |
||||||||||||||||||||||||||
number scale at point |
|
x = 0. Consequently, if a function is discontinuous at |
pointі x, it does not follow necessarily that it has the derivative at this point.
202
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
However, if the function is differentiable (if it has the derivative) at point x , it is continuous at this point then.
Find the derivatives of the functions:
Example 4. y = 4x5 −3x4 +1 .
Solution.
y′ = (4x5 − 3x4 + 1)′ = (4x5 )′ − (3x4 )′ + (1)′ = 4(x5 )′ − 3(x4 )′ = 4 5x4 − 3 4x3 = 20x4 − 12x3.
Example 5. y = |
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3 |
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− |
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1 |
. |
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|||||||
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x2 |
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||||||||||
Solution. |
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|
x |
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||||||
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|||
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3 |
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1 |
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−2 |
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−1 |
2 )′ = |
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−2 |
)′ − (x |
−1/ 2 |
)′ = |
|
|
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|||||||||||||
y ' = |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= (3x |
|
− x |
|
|
3(x |
|
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||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
x |
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|
x |
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|
6 |
|
|
1 |
|
|||||
= 3 (−2)x−2−1 − (−1/ 2)x−1/ 2−1 = = −6x−3 + (1/ 2)x−3/ 2 |
= − |
|
+ |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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2 x3 |
||||
Example 6. y = |
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x2 |
. |
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||||||||
sin x |
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||||||||||||
Solution. |
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||||||||||
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|||
x2 |
|
|
′ |
|
|
(x2 )′ sin x − x2 (sin x)′ |
|
2x sin x − x2 cos x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
y ' = |
|
|
|
= |
|
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|
(sin x) |
2 |
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|
= |
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|
sin |
2 |
x |
|
|
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|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||
sin x |
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|||||||||||||
Example 7. y = arcsin x tg x. |
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Solution. |
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||
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y |
′ |
= |
|
(arcsin x tgx) |
′ |
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|
|
′ |
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|||||||||||
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|
= (arcsin x) tgx + |
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||||||||||||||||||||
+ arcsin x (tg x) |
′ |
|
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1 |
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1 |
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||||||||||||||
= |
|
1− x2 tg x + arcsin x cos2 x . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Example 8. Find |
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y' (0), |
if |
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y = ex x . |
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||||||||||||||||||
Solution. y′ = (ex )x + ex ; |
y '(o) = e0 0 + e0 = 1. |
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Applying the rule of differentiation of composite function, find the derivatives of the functions:
Example 9. y = (x2 +1)3 .
Solution. Let us make a designation u = x2 +1, then y = (u(x))3 . By the rule of differentiation of the composite function, it follows
y′ = (u3 )′ = 3u2u′ = 3(x2 + 1)2 (x2 + 1)′ = 3(x2 + 1)2 2x = = 6x(x2 + 1)2 .
203
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Example 10. y = sin3 x . |
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Solution. Let us designate u = sin x , then |
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y = (u(x))3 . Hence, |
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||||||||||||||||||||||||||||
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|
y′ = (u3 )′ = 3u2u′ = 3sin2 x (sin x)′ = 3sin2 x cos x. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||
Example 11. y = |
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x4 + x3 +1 . |
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||||||||||
Solution. In this case |
y = |
u |
where u = x4 + x3 +1 . Then |
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|
y ' = ( u ) ' = |
1 |
|
u ' = |
(x4 |
+ x3 + 1) ' |
= |
|
4x3 + 3x2 |
|
|
. |
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||||||||||||||||||
|
2 u |
|
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||||||||||||
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2 x4 + x3 + 1 2 x4 + x3 + 1 |
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Example 12. y = |
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1 |
. |
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||||
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||||||
|
|
|
cos2 |
x |
|
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Solution. We write the given function as follows y = cos−2 x . Then |
|||||||||||||||||||||||||||||||
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u = cos x , |
|
y = u−2 , |
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|||||||||||
|
y′ = (u−2 )′ = −2u−3u′ = −2 cos−3 x(cos x)′ = 2 cos−3 x sin x. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Example 13. y = 5sin x . |
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Solution. We have the composite function |
y = 5u |
where u = sin x . Then |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
y′ = (5u )′ = 5u ln 5 u′ = 5sin x ln 5(sin x)′ = 5sin x ln 5cos x . |
||||||||||||||||||||||||||||||
Example 14. y = tg ex . |
|
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||||||||
Solution. We have the composite function |
y = tg u , where u = ex . Then |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
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y′ = (tg u)′ = |
|
1 |
|
|
u′ = |
|
|
1 |
|
|
|
(ex )′ |
= |
|
|
|
ex |
|
. |
|
|
|
|||||||
cos2 u |
|
cos2 ex |
cos2 ex |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
Example 15. y = arcsin x |
arcsin x . |
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|||||||||||||
Solution. Having applied the product rule, we get |
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|||||||||||||||||||||
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y = (arcsin |
x)′ |
arcsin x + arcsin |
|
x( |
arcsin x)′ = |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
( x)′ |
|
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
1− ( x)2 |
|
arcsin x + arcsin |
x 2 |
arcsin x (arcsin x) |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
arcsin x + arcsin |
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
. |
|
||||||||||||
|
|
2 x 1− x |
|
2 |
|
arcsin x |
|
1− x2 |
|
204
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
Example 16. y = ln(x2 + 1) . |
|
|
|
|
|
|
Solution. We have the composite function |
y = ln u , where u = x2 +1. |
|||||
Then |
|
|
|
|
|
|
y′ = (ln u)′ = 1 u′ = |
1 |
|
(x2 + 1)′ = |
2x |
. |
|
x2 + 1 |
|
|||||
u |
|
|
x2 + 1 |
Example 17. y = arctg(log2 (x +cos x)) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Solution. We have the composite function y = arctg u , where |
u = log2 (x + |
|||||||||||||||||||||
+cos x) is also composite, that is, |
u = log2 w , w = x + cos x . In this case, we |
|||||||||||||||||||||
find the derivative as follows: |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
′ |
= (arctg u) |
′ |
= |
|
1 |
u |
′ |
= |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
′ |
||
|
|
|
|
(log2 w)′ = |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
+ u2 |
|
|
1 |
+ u2 |
1 |
+ u2 |
|
wln 2 |
|
|
||||||
= |
|
|
(x + cos x)′ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1− sin x |
|
. |
||||||
(1+ (log2 (x + cos x))2 )(x + cos x) ln 2 |
|
(1+ log22 (x + cos x))(x + cos x) ln 2 |
Example 18. y = arcctg2 (x3 − 2) .
Solution.
y′ = 2arcctg(x3 − 2) (arcctg(x3 − 2))′ = − 6x2 arcctg(x3 − 2) . 1+ (x3 − 2)2
Micromodule 17
CLASS AND HOME ASSIGNMENT
Find the derivatives of the functions:
1. |
y = 2 + x − x2 . |
|
2. |
y = 3 4 x . |
|
|
|
3. y = 3 + |
2 |
− x3 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
4. |
y = |
1 |
+ |
3 |
|
− x ln x . |
5. |
а) y = arccos x 3x ; |
|
|
b) y = 10x |
/ x . |
|
|
|
|||||||||
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
y = 4 tg x 6 x5 . |
|
7. |
а) y = |
cos x |
; |
|
|
|
b) y = |
sin x |
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
||
8. |
y = |
arcsin x |
|
. |
9. y = 2x sin x x4 . |
10. y = arctg x +arcctg x . |
||||||||||||||||||
arccos x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
y = (3x + |
x )( |
x − x) . |
|
|
12. а) |
y = |
1 |
− x5 |
y = |
2 − 7 |
x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
; b) |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 x2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 + 1 |
|
|
|
+ 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
205 |
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
13. |
y = (x2 − 1)(x2 + 1)(x4 + 1) . |
14. |
y = (1+ x )(1+ 3 x ) . |
|
|||||||||||||||||
15. а) y = |
|
x |
x |
|
; b) y |
= |
|
3 x |
. 16. |
y = (x |
2 |
−3x +2)(x |
2 |
−5x +3) . |
|||||||
|
+ |
x |
|
+ 4 x |
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
17. |
y = |
|
|
|
3 |
|
. |
|
18. |
а) y = |
x3 |
−2x +4 |
; b) y = |
|
3 x + 1 |
|
. |
||||
(x3 −1)(1−2x4 ) |
|
|
x + x |
|
|
3 x2 − 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
19. |
y = log2 x + 1/ ln x . |
|
|
20. |
y = tg x arctg x − 3arccos x . |
|
|
|
|
Find the derivatives of the composite functions:
21. y = (3x + 2)5 .
24.y = arcsin(ln x)
27.y = 2arctg x .
30. y = 4 ctg x .
33. y = arccos 1−x
1+ x
35. y = sh(cos 1+x x ) .
22. |
y = cos4 x . |
|
23. |
y = tg log3 x . |
||||
25. |
y = arccos |
x . |
|
26. |
y = 3x+ x . |
|||
28. |
y = x ln sin 2x . |
|
29. |
y = ex tg(3 x + 1) . |
||||
31. |
y = sin6 (cos 3x) . |
|
32. |
y = cos5 (log32 x) . |
||||
34. а) y = arctg |
|
1− x |
; |
b) y = |
arctg x −1 |
. |
||
|
|
1+ x |
|
|
|
arctg x +1 |
||
36. |
y = earccos(ln x) . |
|
|
|
|
|
37. а) y = (x2 −1) arccos |
1 |
; |
b) y = |
x2 +1 |
. |
|
|
38. |
|
y = ln(ln2 x) . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
arccos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
39. |
y = cos ln |
ex |
− 1 |
. |
|
40. |
y = |
|
sin x |
. |
|
|
|
41. |
|
y = |
|
|
tg x − x |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ex |
+ 1 |
|
|
|
|
|
3 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
||||
42. |
y = |
ln(x + arctg x) |
. |
43. y = |
3 |
|
|
. |
|
|
|
44. |
|
y = |
sin3 x |
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
arctg ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 arccos 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
45. |
y = 3sin 5x cos4 x . |
|
|
|
|
46. |
y = 4 sin |
1 |
cos |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
47. |
y = sin(cos x) cos(sin x). |
|
48. |
y = ln(x + |
x2 −1) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 −4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
−3x |
|
|||
49. |
y = 3 |
|
|
+4log3 cos 2x. |
50. |
y =ln(e |
|
+ e |
|
−1) |
+arccose |
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4 x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
51. |
y = (1+ x2 ) |
1−x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
206
http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
Answers |
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1. |
1− 2x. |
2. |
|
|
3 |
. 3. |
− |
1 |
|
|
−3x2 . |
4. − |
1 |
|
− 3 |
cos x |
|
− ln x −1. |
6. 12x + 5sin 2x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 x3 |
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3cos2 x6 x |
|
|
|||||||||||
7. а) |
− |
2xsin x + cos x . |
8. |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
. |
9. |
|
2x x3(ln 2 xsin x + xcos x + 4sin x) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
2 1− x2 arccos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. а) |
0. |
|
11. |
3 |
x − 6x + 1 . |
12. а) |
|
|
− 10x 4 |
. |
13. |
8x 7 . |
|
14. |
|
4x3 − 24x 2 + 40x − 19 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x5 + 1)2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
19. |
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
1 |
|
. |
21. 15(3x + 2)4 . |
|
22. −4cos3 xsin x. |
|
23. |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x ln 2 |
|
|
|
x ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln 3 cos2 (log3 x) |
||||||||||||||
24. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
25. − |
1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
27. |
2arctg x ln 2 |
. |
|
|
|
28. ln sin 2x + 2xctg2x . |
|||||||||||||||||||||||||
|
x 1−ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x −x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
31. −18sin5(cos3x)cos(cos3x)sin 3x. |
33. |
|
|
1 |
|
|
. |
34. а) |
|
|
|
−1 |
. |
35. −chcos |
|
x |
× |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
2 1− x2 |
|
|
|
|
x |
+ 1 |
|
|
|||||||||||
×sin |
|
x |
|
/(1+ x)2 . |
36. |
|
−earccosln x |
|
. |
39. |
sin ln ex − 1 |
|
2e2x |
|
. 44. |
|
sin2 x (3+ sin2 x) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 1 |
|
|
1 − ln2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex + 1 1− e2x |
|
|
|
|
|
|
|
cos5 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
48. |
|
|
|
1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
Micromodule 17 |
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
SELF-TEST ASSIGNMENTS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
17.1. Find the derivatives of the first order y = f (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
17.1.1. а) y = cos2 x + sin(tg x) ; |
|
|
|
b) |
y = ln2 arcsin |
|
x ; |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
y = 2sin x+cos2 x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
y = 5 (2x +1) arcctg x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
17.1.2. а) |
y = 3 ctg x + tg x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
b) |
y = log3 |
|
|
|
x |
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
y = 10 |
ln x |
3tan x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
y = 5 arctg(ln2 x) − 1 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
17.1.3. а) |
y = sin |
|
x − 2 sin3 x ; |
|
|
|
b) y = ln arccos |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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x |
|
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||||
|
|
|
|
|
|
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|
c) |
y = earctg x cos 2x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
y = 4 log3 sin(x3 + 1) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
17.1.4. а) |
y = x2 /(1+ cos2 2x) ; |
|
|
|
b) |
y = 3 ln cos |
x − 2 |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5 |
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|||||
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|
|
|
|
|
|
b) |
y = ln sin(3x x2 ) ; |
|
|
|
|
|
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|
|
d) |
y = 3 x |
cos3 (tg x) . |
|
|
|
|
207
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17.1.5. a) y = cos5 (sin 3x) ; |
b) |
y = (1+ cos2 x)5 sin 4x ; |
||
c) y = ln(x +arccos 1−x2 ) ; |
d) |
y = ln5 arctg |
1 |
. |
|
||||
|
|
|
x |
17.1.6. а) y = e x2 |
x / sin x 2 ; |
c)y = 102− tg4 x ;
17.1.7.а) y = tg2 x − 2 ctg x2 ;
c)y = 25x 4cos x ;
17.1.8.а) y = x cos2 x − ctg 4x ;
c)y = arctg5 (e2x x) ;
17.1.9.а) y = x3 /(1+sin4 x) ;
c) |
|
ln |
2 sin 5x |
+ |
2 |
x |
; |
|
|
|||||
y = 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
17.1.10. а) |
y = sin |
1+ |
|
x |
; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
||||
c) |
|
|
|
−x2 |
sin(3x −2) ; |
|||||||||
y = e |
||||||||||||||
17.1.11. а) |
y = |
|
|
2 +sin |
1+ x2 |
|
; |
|||||||
|
|
1−x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c) |
y = 2 |
ln x x3 ; |
|
|
|
|
|
|||||||
17.1.12. а) |
y = |
|
5 ctg2 (5 +1/ x) |
; |
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) |
y = tg(2cos x ) ln(x3x ) ; |
|||||||||||||
17.1.13. а) |
y = |
|
sec2 (1+ x2 ) |
−1 |
; |
|||||||||
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c) |
y = 5 1−tg2 x |
ctg 3x ; |
|
b)y = arctg ln x ; ln arctg x
d)y = 6 e− x + 1 sin(4x + 1) .
b)y = (2 +ln2 sin x)3 ;
d)y = log32 arcsin(x2 ) .
b)y = arcsin3 ln sin 2x ;
d) |
y = |
1+ ln 2 |
x |
. |
x3 + 2 |
|
|||
|
|
|
|
b) y = log2 arctg(1−x2 ) ;
d) y = 1+sh |
1+ x3 |
. |
|||
|
1−x3 |
|
|||
|
|
|
|
||
b) y = lg |
x + |
|
x2 −2 |
; |
|
|
3x |
||||
|
|
|
d) |
y = cos(sin3 (x tg x)) . |
||
b) |
y = |
1−arctg x |
; |
|
|||
|
|
ln2 x |
d)y = tg4 (ch x) − ch(tg x2 ) .
b)y = ln arccos(2x −5) ;
d) y = c h2 (x2 − 1) − c h x .
b) |
y = log24 arcsin(3x3 ) ; |
d) |
y = 4 2−x +1 cos 4 x . |
208
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17.1.14.а) y = tg(cos(5 ctg x)) ;
c)y = 3sin x sin3 x +3 ;
17.1.15. а) |
y = cos(sin |
|
x tg x ) ; |
|
|||||
c) |
y = 6arctg |
x |
−2tg x ; |
|
|
|
|||
17.1.16. а) |
y = tg2 |
|
1 |
−5 ctg 3x ; |
|
||||
x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
c) |
y = x |
3 −x2 |
/ 2 |
−cos 2 |
x |
; |
|||
e |
|
|
|
||||||
17.1.17. a) |
y = (tg |
3x ) / sin |
x ; |
|
c)y = 2arccos x cos2 x ;
17.1.18.а) y = 4 tg(x / 4) +ctg 4x ;
c)y = tg(4ln x +3tgx ) ;
17.1.19.а) y = cos3 5x −8 sin3 4x ;
c)y = 2x2 / x2 ;
17.1.20. а) |
y = 5 sin4 x −cos x ; |
c) |
y = 2ln arcsin x ; |
17.1.21.а) y = ctg3 (6 2−x tg2 x ) ;
c)y = e3 sin 5x−5 cos2 x ;
17.1.22. а) y = cos |
x |
; |
|
sin x |
|||
|
|
c) y = cos e4 x−1/ x ;
b) y = 3 ln arctg |
x ; |
|
||||
d) y = |
log2 (x +1/ x) |
. |
||||
|
2x3 |
|
||||
|
|
|
|
|||
b) y = ln5 arctg |
x +1 |
; |
||||
x −1 |
||||||
|
|
|
|
|
||
d) y = |
4 |
x −1 |
. |
|
||
|
|
|||||
|
|
x +1 |
|
|
||
b) y = log34 sin |
1+ x3 ; |
d) |
y = arc tg2 (x ln x) . |
b) |
y = arcsin4 ln ln x ; |
d) |
y = ln(x +ln(x + 1−x2 ) . |
b) |
y = arccos2 ln sin x ; |
d) y = |
2−arcctg |
|
x |
. |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
log34 x |
|
|
|
|
|
b) y = ln ln cos ln tg x ; |
|||||||
d) y = 7 log33 sin |
1+ x . |
||||||
b) y = |
ln(1+ln2 |
|
x) |
; |
|||
|
log2 x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
d) y = |
sh2 |
(1+ x2 ) |
−2 th 2x . |
||||
|
ch x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b) |
y = |
arcsin ln x |
; |
|
|
ln(x2 +1) |
|
d) |
y = tg(4ln x +7ctg x ) . |
b)y = logx 3+log34 x ;
d)y = ln5 arctg xx −+11 .
209
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17.1.23. а) |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
b) |
y = x ln(x + 1−x2 ) ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
sin2 x −cos(x2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
c) |
y = 2(x3−2) / sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
d) |
y = tg2 |
|
|
1 |
|
−5 ctg4 2x . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
17.1.24. а) |
y = cos |
sin x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
y = sin ln tg x −ln ctg |
x |
; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
c) |
y = cos 2x /(e |
x |
+ |
3 |
x2 |
) ; |
d) |
y = |
|
1+ln4 x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
log5 x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
17.1.25. а) |
y = |
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
; |
|
b) |
y = x2 (cos ln x −sin ln x) ; |
|||||||||||||||||||||||
|
3 cos x +cos3 |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
c) |
y = 5 |
4x |
|
|
|
|
5x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
d) |
y = x ln( |
|
4 − x |
2 |
) . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
+4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
17.1.26. а) |
y = cos |
|
1+ x3 |
+ cos x ; |
b) |
y = log32 (ln x −logcos x 2) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
c) |
y = 103x− 4 (3x − 4)10 ; |
d) |
y = arccos |
|
x −1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
17.1.27. а) |
y = 3 tg(x / 3) +cos |
|
|
|
sin x ; |
b) |
y = log33 log22 ln(5x −2) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
c) |
y = 3sin2 3x |
|
+ |
3cos x |
|
|
; |
|
d) |
y = |
arcsin ln x . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
17.1.28. а) |
y = cos |
6 |
|
3 |
|
+ |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
; |
|
b) |
y = ln(sin |
2 |
|
x + |
|
sin |
3 |
ln x ) ; |
||||||||||||
|
|
x |
|
x cos x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
c) |
y = x cos(2arctan |
1− x2 |
) ; |
d) 102x−5 (7x2 − 1)8 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
17.1.29. a) |
y = |
cos3 (x 2 − 1/ x 2 ) |
; |
b) |
y = ln cos log7 ctg ln x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
c) |
y = e5 arctan |
|
x |
|
/ ln x ; |
|
d) |
y = tg |
sin 2x + x3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
17.1.30. а) |
y = x sin3 5x +cos ec2 x ; |
b) |
y = ln3 sin(x cos x) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
c) |
y = arcsin 8sin x |
/ 2cos x ; |
d) |
y = 3 |
tan x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln x |
|
|
|
|
|
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210
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