§2. Уравнение Бернулли и примеры его практического использования.

Уравнение Бернулли позволяет решить задачу о полном давлении в любом сечении трубки тока и о составляющих этого давления.

Рис.6

Рассмотрим трубку тока, расположенную наклонно в поле тяготения (рис.6). Выберем два произвольных сечения и, находящихся на разных высотах по отношении к линии горизонта,и статические давления соответственно слева от сечения и справа от сечения. Допустим, что>. Полная энергия некоторой массы жидкости слагается из кинетической энергиии

потенциальной энергии . Поэтому можно записать.

Изменение полной энергии при перемещении массыжидкости из сеченияв сечениеопределится выражением

- (4)

В нашем случае полная энергия увеличивается, т.к. увеличивается и потенциальная энергия (жидкость поднимается до ) и кинетическая энергия (жидкость втекает в сужение, и ее скорость возрастает отдо)

Перемещение жидкости осуществляется вследствие разности давлений . Работа по перемещению жидкости определяется соотношением (3).

На основании закона сохранения энергии можно утверждать, что увеличение полной энергии равно работе, совершенной за счет разности сил давления, поэтому можно записать

, (5)

или после деления (5) на объем получим

,

где - плотность жидкости.

Сгруппируем члены с одинаковыми индексами по обе стороны равенства, получим:

. (6)

Т

ак как сечениявыбраны нами произвольно, равенство (6) можно записать для любых сечений трубки токаи т.д. Поэтому (6) можно представить в виде

Полученное уравнение носит название уравнение Бернулли.

Уравнение выведено в 1738 году Даниилом Бернулли (1700-1782) швейцарским математиком, членом Петербургской Академии Наук.

Первое слагаемое называют гидродинамическим давлением, оно возникает вследствие движения жидкости со скоростью; слагаемое- давление, обусловленное положением частиц жидкости в гравитационном поле Земли; слагаемоер – статическое давление (напор). Сумма получила название гидростатического давления.

Уравнение Бернулли можно сформулировать следующим образом:

давления для любого сечения трубки тока есть величина постоянная в стационарно текущей идеальной жидкости сумма гидродинамического

Сумма гидростатического и гидродинамического давлений называют полным давлением. Таким образом, полное давление во всех сечениях трубки тока является одинаковым.

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из уравнения Бернулли, а примеры практического использования этого уравнения.

А). Пусть жидкость течет так, что во всех точках скорость течения имеет одинаковую величину ().

Тогда уравнение (6) принимает вид

,

или

(8)

т.е. распределение давления в этом случае будет таким же, как и в покоящейся жидкости.

Б). Для горизонтальной трубки тока уравнение (6) принимает вид

(9)

или

(10)

Из условия (10) следует, что статическое давление р больше там, где меньше динамическое и наоборот. Таким образом, статическое давление всегда меньше в узких частях трубки (~~).

Если давление в широкой части трубки атмосферное, то в узкой части, где большая скорость, оно меньше атмосферного. Струя тогда будет оказывать засасывающее действие. На засасывающем действии суженой струи основная работа целого ряда физических и технических приборов – водоструйных насосов, ртутных насосов, инжекторов, пульверизаторов, ингаляторов, карбюраторов и т.д.

Важное практическое применение уравнения Бернулли нашло в приборах для изменения давления и для определения скорости потока.

Поместим в стационарный поток жидкости изогнутую под прямым углом манометрическую трубку 1 с отверстием, обращенным навстречу потоку (рис.7 ).

Рис.7

Такую трубку называют трубкой Пито. Рассмотрим линию тока АВ, проходящую через центр сечения трубки Пито и «упирающуюся» в точку В. Линию тока можно рассматривать как

трубку тока с пренебрежимо малым сечением, и, строго говоря, уравнение Бернулли будет справедливо для любой линии тока. Для линии АВ запишем его в виде:

(11)

Скорость в точкеA равна скорости стационарного потока жидкости v, а скорость в точке В равна нулю, поэтому уравнение Бернулли для линии АВ принимает вид:

(12)

Следовательно, давление в точке В равно сумме динамического и статическогор давлений в потоке жидкости, и жидкость в трубке Пито поднимается до высоты , соответствующей сумме динамического и статического давлений. Таким образом, высотаопределяет полное давление в потоке.

Если в поток поместить трубку 2, сечение которой параллельно линиям тока (такую трубку называют зондом) (рис.7), то жидкость в ней поднимается на высоту , соответствующую статическому давлению в потоке. По разностиможно определить величину динамического давления.

Прибор, сочетающий в себе трубку Пито и зонд (рис.8), получил название дифференциального манометра или трубки Прандтля. Такой манометр позволяет определить статическое, динамическое и полное давления.

Рис.8

Аналогичные приборы используются для определения скорости потока жидкости (или газа).