Понятие множества, элемент множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами.

Множества – совокупность группы объектов как единое целое, которые объединены общими свойствами. Примеры множеств: натуральные числа, геометрические фигуры и т.д.

Элементы множеств – это объекты из которых образованы множества. Обычно элементы множества принято обозначать латинскими строчными буквами. Множество которое не содержит ни одного элемента называются пустыми множеством.

Способы задания множества. Множество задано если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно задать, перечислив все его элементы. Однако если множество бесконечно то его элементы перечислить нельзя! В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежавший множеству, и не обладает не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Отношение между множествами. Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множества является подмножеством самого себя. Множество А и В называется равными если А принадлежит В а В принадлежит А. отношение между множествами ярко показывают круги Эйлера.

1. Операции над множествами. Свойства операций, их иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера.

Операции над множествами. Пересечение множеств. Пересечение множеств А и В называется множество содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В. (рис 7. Учебник).

Объединение множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Свойства пересечения и объединения множеств. Множества пересечения и объединения обладают переместительными и сочетательными свойствами.

Вычитание множеств. Разностью множеств А и В называется множество содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Дополнение множеств. Пусть В принадлежит А. Дополнением множеств В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Понятие разбиения множества на классы. Разбиение множества это когда целое множество разбивают на подмножества и делят на классы, которые обладают определёнными свойствами и характеристиками.

2. Декартово произведение множеств. Способы задания множеств и наглядности представления. Свойства декартово произведения.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар первая компонента которых принадлежит А, а вторая компонента принадлежит множеству В. Декартовым произведением множеств А1 А2 А3 …. Аn, называется множество всех кортежей длины n, первая компонента которых принадлежит множеству А1 вторая множеству А2…. Аn принадлежит множеству Аn.

Способы задания множеств. Множества можно задать с помощью таблицы и координатной прямой.

Если декартово произведение содержит небольшое количество элементов то изобразить произведение можно в таблице или при помощи рисунка. Если два элемента то изображают на координатной прямой.

Свойства декартово произведения.

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если A,B — конечные множества, то A×B — конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения — бесконечное множество.

2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A×B|=|A|⋅|B|.

3. Anp≠(An)p — в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np, во втором же — как матрицу размеров n×p.

4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A×B≠B×A.

5. Ассоциативный закон не выполняется: (A×B)×C≠A×(B×C).

Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A∗B)×C=(A×C)∗(B×C),∗∈{∩,∪,∖.

3. Число элементов и объединения, разности, декартовом произведении множества.

Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если А= { x, y , z} , a B ={k,l,m,p}. Чтобы ответить на вопрос: Сколько элементов в полученном множестве? Достаточно их пересчитать.

А как определять число элементов в объединении конечных множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?

Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов, а в множестве В б элементов и множества А и В не пересекаются, то в объединении множеств А и В содержится а+б элементов т.е. n( A принадлежит В) = n(A) +n(B) = a+b.

Число элементов в декартовом произведении конечных множеств.

Чтобы ответить на вопрос: сколько элементов в полученном множестве? , достаточно пересчитать их . А как определить число элементов в декартовом произведении множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчёту элементов?

Можно доказать, что если в множестве А содержится а элементов , а в множестве В – б элементов, то в декартовом произведении множеств А и В содержится а*б элементов т.е. n( A x B) = n(A) x n(B) = a x b.

4. Понятие бинарного отношения на множестве. Способы задания и наглядного изображения бинарных соединений. Свойства бинарных соединений.

Бинарное соединение - Пусть n — произвольное натуральное число. n-арным отношением на множестве S называется произвольное подмножество множества S n. При n = 2, 3 n-арные отношения имеют специальные названия: 2-арные отношения называются бинарными, а 3-арные — тернарными.

5. Типы бинарных соединений. Связь с разнообразием множества на классы.

6. Отображение и их виды. Взаимо-однозначное отображение. Равномощные множества.

7. Теоретико-множественный смысл натурального числа , нуля, отношения меньше.

Натуральное число – это общее свойства класса конечных равномощных множеств. Теорема. Любое непустое подмножество конечного множества конечно. Доказательство. В связи с тем, что при определи числа, соответствующему множеству А, приходится прибегать к счету, а для этого нужен некоторый отрезок натурального ряда, то изучение математики в начальных классах начинается , как правило, с усвоения чисел первого десятка . параллельно раскрывается смысл каждого из этих чисел, причем количественное натуральное число часто рассматривается как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Например, когда учащиеся изучают число 3 они рассматривают элементы которые содержат число три три кубика три кружочка и т.д.

Число ноль с теоретико-множественного смысла рассматривается как характеристика пустого множества.

Отношение меньше. Смысл заключается в том что отношение меньше это разница между числами. Отношение меньше одно из первых закономерностей чисел.