Лекция 1 квантовые основы наноэлектроники

План лекции

1.1. Теория квантового ограничения

С позиций квантовой механики электрон может быть представлен волной, описываемой соответствующей волновой функцией. Распространение этой волны в наноразмерных твердотельных структурах контролируется эффектами, связанными с квантовым ограничением, интерференцией и возможностью туннелирования через потенциальные барьеры.

Волна, соответствующая свободному электрону в твердом теле, может беспрепятственно распространяться в любом направлении. Ситуация кардинально меняется, когда электрон попадает в твердотельную структуру, размер которой L, по крайней мере в одном направлении, ограничен и по своей величине сравним с длиной электронной волны. Классическим аналогом такой структуры является струна с жестко закрепленными концами. Колебания струны могут происходить только в режиме стоячих волн с длиной волны λ =2L/n, n=1,2,3,...

Аналогичные закономерности поведения характерны и для свободного электрона, находящегося в твердотельной структуре ограниченного размера или области твердого тела, ограниченной непроницаемыми потенциальными барьерами. На рис. 1.1 такая ситуация проиллюстрирована на примере квантового шнура, у которого ограничены размеры сечения а и b.

 

Рис. 1.1. Возможности для движения электронов в

квантовоограниченной наноразмерной структуре

В этих направлениях возможно распространение только волн с длиной, кратной геометрическим размерам структуры. Разрешенные значения волнового вектора для одного направления задаются соотношением к =2π/λ_п =nπ/L (п = 1, 2, 3,...), гдеL в соответствии с рис. 1.1 может принимать значения, равныеа илиb. Для соответствующих им электронов это означает, что они могут иметь только определенные фиксированные значения энергии, т. е. имеет место дополнительное квантование энергетических уровней. Это явление получило названиеквантового ограничения. Вдоль же шнура могут двигаться электроны с любой энергией.

Запирание электрона с эффективной массой т*, по крайней мере в одном из направлений, в соответствии с принципом неопределенности приводит к увеличению его импульса на величину ћ/L. Соответственно увеличивается и кинетическая энергия электрона на величину ΔЕ = ћ²k²/2т*= =(ћ²/2m*)(π²/L²). Таким образом, квантовое ограничение сопровождается как увеличением минимальной энергии запертого электрона, так и дополнительным квантованием энергетических уровней, соответствующих его возбужденному состоянию. Это приводит к тому, что электронные свойства наноразмерных структур отличаются от известных объемных свойств материала, из которого они сделаны.

 

1.2. Квантовый эффект Холла

Рассмотрим общие черты динамики двумерных электронов в магнитном поле Н, перпендикулярном их плоскости. Это можно было бы сделать строго формально путем решения соответствующего уравнения Шрёдингера. Но мы для простоты и наглядности ограничимся квазиклассическим рассмотрением электронных траекторий.

Как известно, сила F, действующая со сторонымагнитного поля на заряженную частицу, всегда перпендикулярна вектору ее скоростиu:F=(е/с)[uH]. На рис. 1.2 показаны классические траектории движения двумерных электронов в магнитном поле, перпендикулярном их плоскости. В глубине образца, где другие силы на электрон не действуют, он будут совершать круговое вращение с частотой ω_c = еН/тс, называемой циклотронной частотой. Согласно законам квантовой механики, энергия такого периодического движения квантуется, то есть может принимать лишь определенные дискретныезначения E_N= ћω_c(N+ 1/2), N= О,1, 2,..., называемые уровнями Ландау.

Рис. 1.2. Траектории двумерных электронов в перпендикулярном

магнитном поле в глубине образца (а)и вблизи границы(б)

Совсем иначе ведут себя электроны, находящиеся вблизи границы образца. Как видно на рис. 1.2, за счет многократных отражений от границы они получают возможность поступательного движения вдоль края. Это движение может быть охарактеризовано некоторым значением импульсар_х и кинетической энергиейЕ. Таким образом, динамика приграничных двумерных электронов в сильноммагнитном поле напоминает динамику в квантовых нитях, где электроны могут свободно двигаться в одном направлении и резко ограничены в своем движении в двух других. Разумеется, зависимостьэнергии Е от импульса p_х не обязана быть и действительно не является квадратичной. Поэтому формула носит универсальный характер и справедлива при любом законе дисперсии:

, (1.1)

где s– проводимость,N – число уровней, содержащих электроны.

И еще одно важное замечание. В квантовой нити без магнитного поля ток, параллельный оси нити, создается электрическим полем, имеющим то же самое направление. В магнитном поле сила, действующая на электрон со стороны электрического поля (сила Лоренца), перпендикулярна как электрическому, так и магнитному полю. Поэтому данная формула в этом случае будет связывать между собой х-компоненту электрического поля с у-компонентой тока и наоборот. Итак, можно окончательно утверждать, что в двумерном электронном газе в сильном магнитном поле недиагональная, холловская компонента проводимости дается приведенным выше выражением (1.1), что составляет основное содержание квантового эффекта Холлаx[1].

Контрольные вопросы

 

1.    В чем заключается понятие квантового ограничения?

2.    В чем состоит различие свойств наноразмерных структур и объемных материалов?

 

Рекомендуемый библиографический список [1].