Материалы что дал Мухачев / Материалы что дал Мухачев-1 / Lect_04_05_06_pract
.docЛекції 4,5,6, Практичні приклади
Запишемо булеву функцію
у табличному виді, та обчислимо її
похідні
для
і
при
,
.
Тобто, ми обчислимо не всі похідні
другого порядку, а за деякими напрямками.
Таблиця 5.1 Похідні булевих функцій
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
A |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
B |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
C |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
D |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
E |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Підфункції
від двох змінних при
.
Оскількі розмірність
аргументу підфункцій (тобто, після
фіксації) дорівнює 2, то кількість
змінних, що фіксуються дорівнює
.
Таким чином, умова
коректна. Якщо
не було би задано, то слід було б вибирати
чотири вектори
для всіх
значень
.
Таблиця 5.2 Підфункції, що
отримані з
при
|
№ |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
8 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
9 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
A |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
B |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
С |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
В |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
№ |
|
|
|
|
|
|
6 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
7 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
E |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
F |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
,
,
,
,
,
,
,
,
Вивчення властивостей булевих
функцій з метою побудови криптосхем
блокових шифрів, привело до ідеї строгого
лавинного критерію (Strict Avalanche Criterion,
).
Подібні критерії відображають
властивість непередбачуваності поведінки
функції
при однаковій модифікації (невідомих)
аргументів.
Це означає, що при заміні
(у наслідок помилки),
скажимо,
на
,
відповідні координати векторів значень
функцій
і
не співпадатимуть у половині випадків.
Або, наприклад, мінімальне
відхилення від істинного значення
аргументу
призведе до максимально швидкого, як
кажуть, лавинного розповсюдження помилок
у рекурентній послідовності
.
5.3 Основнї критерії розповсюдження помилок
Виходячи з булевої функції
,
що перевіряється на відповідність
критерію, послідовно будується множина
деяких інших функцій. Функція
відповідає критерію, якщо кожна функція
з
є рівноймовірною
5.3.1 Булева
функція
задовольняє строгий лавинний критерій
,
якщо
- рівноймовірна функція для всіх
допустимих
.
складається з похідних
,
де
.
5.3.2
- строгий лавинний критерій порядку
,
.
Функція
задовольняє
,
якщо
і будь-яка її підфункція
,
отримана фіксацією
змінних, задовольняє звичайному критерію
.
Для побудови
спочатку будуються всі підфункції
з
-вимірними
векторами
,
потім для кожної з них будуються похідні
,
де
.
Якщо функція задовільняє
,
то вона задовільняє
,
де
.
5.3.3 В критерії
,
за визначенням, у підфункцій допускається
модифікація виду
довільного, але тільки одного з аргументів
.
Модифікація декількох аргументів
розглядається в так званому критерії
розповсюдження
степеня
.
Булева функція
задовольняє критерій розповсюдження
степеня
(Propagation Criterion), якщо будь-яка її похідна
,
рівноймовірна.
складається зі всіх похідних
,
тобто
.
Якщо
рівноймовірна для конкретного вектора
,
говорять, що
задовольняє критерій розповсюдження
степеня
відносно вектора
.
5.3.4 Загальний
випадок критерія розповсюдження степеня
,
порядку
.
Функція
задовольняє критерій розповсюдження
степеня
,
порядку
,
,
,
якщо для будь-якої з підфункцій
,
отриманих фіксацією
змінних, всі похідні
,
,
рівноймовірні.
Для побудови
спочатку будуються всі підфункції
з
-вимірними
векторами
,
потім для кожної з них будуються похідні
,
де
.
5.4
Практичні приклади для
.
Критерій
.
Необхідно, щоб похідна
була рівноймовірною для всіх допустимих
.
Допустимими є чотири вектори з вагою
одиниця.
Один з них:
.
Похідну
ми вже обчислили як приклад похідної
у Таб. 5.1. Кількість одиниць у векторі
значень функції
дорівнює 12, а не 8, таким чином, одна з
похідних не є рівноймовірною і
не задовілняє
.
Критерій
.
Нехай
,
тобто фіксуються 2 змінні.
Розглянемо підфункцію
для
,
(табл. 5.2) і застосуємо до неї критерій
(табл.
5.3).
Маємо випробувати вектори з
вагою одиниця. Нехай
,
.
Таблиця
5.3 Критерій
для
підфункції від двох змінних
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 0 |
0 0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 1 |
0 1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 0 |
1 0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 0 |
1 1 |
,
,
Похідні
і
є рівноймовірними, тому треба продовжити
обчислення для інших підфункцій.
Оскільки при
функція
,
то для
і
.
Звідки випливає, що всі похідні цієї
підфункції, зокрема,
,
дорівнюють нулю, тобто не є рівноймовірними.
Таким чином,
не задовільняє
,
тому
не задовільняє
.
Критерій розповсюдження
,
.
Для цього критерія довільна
похідна
має бути рівноймовірною.
Ми обчислили
при
,
і знайшли, що вектор значень цієї функції
містить 10 одиниць (табл 5.1), тобто,
не задовільняє
.
Критерій розповсюдження
степеня
,
порядку
.
Для цього критерія всі похідні
,
для всіх підфункції
,
що отримані фіксацією
змінних, мають бути рівноймовірні.
Ми вже знаємо, що
не задовільняє
,
тому існують похідні
,
які не є рівноймовірними, звідки випливає
що серед множини похідних
не всі рівноймовірні, тому
не задовільняє
.