Материалы что дал Мухачев / Материалы что дал Мухачев / Білети_коротки_відповіді / Білети_відпові_УБДМ / Sp_Otvet18
.doc№ 18. Перетворення Уолша-Адамара булєвої функції. Визначення нелінійності булевої функції та її вираз через коефіціенти Уолша-Адамара.
Линейная функция – функция вида вида , где - вектор коэффициентов, . Обозначим линейную функцию через . Введем аффинные функции вида , где . Множество аффинных булевых функций от n переменных обозначим через . В криптографии важное значение имеют функции, свойства которых исключают слабости, присущие функциям, близким к линейным. Весом функции называется количество единиц в векторе ее значений.
Как меру различия между булевыми функциями f (x) и от n переменных удобно использовать количество покоординатных несовпадений в векторах их значений. Данная мера называется расстоянием Хэмминга между функциями f и g.
Расстоянием Хэмминга от функции до заданного множества функций G называется значение .
Нелинейностью булевой функции f от n переменных называется параметр - расстояние от f до множества аффинных функций, т.е. значение , .
Параметр можен быть выражен с помощью преобразования Уолша-Адамара.
При преобразовании Уолша-Адамара булевой функции получается функция , , связанная с вектором значений функции . В этом векторе единицы соответствуют местам несовпадений правой части функции с правой частью линейной функции .
Значением является разность между числом нулей и числом единиц в векторе : , где пробегает все множество аргументов
В этом векторе элемент однозначно определяет расстояние Хэмминга между функциями и , а также количество аргументов, на которых они совпадают.
Действительно, если через n+ и обозначить соответственно количество нулей и количество единиц в векторе значений функции , то и , откуда и . Если при вычислении этого выражения вместо использовать аффинную функцию ,то получим величину .
Поэтому выражение равно количеству нулей в векторе значений функции , либо функции .
Таким образом, чем больше абсолютное значение коэффициента Уолша-Адамара, тем меньше расстояние от функции f до множества аффинных функций.
Следовательно, , , .