8.1 Тест на основі малої теореми Ферма

При побудові ймовірнісних критеріїв простоти виникає ряд типових питань, які зручно розглянути на прикладі, за який виберемо тест на основі малої теореми Ферма. Як відомо, ця теорема стверджує, що якщо – просте, то для всіх , взаємно простих з , виконується умова (порівняння Ферма): .

Таким чином, якщо порівняння Ферма не виконано хоча б для одного числа з множини, то– складене.

Тест на основі малої теореми Ферма пояснюється нижче.

Псевдовипадково вибираємо лишок і перевіряємо умову. Якщо ця умова не виконана, значить,– складене. Перевіряємо порівняння Ферма. Якщо воно не виконується, то число– складене. Інакше, повторюємо тест для іншого значення.

Очевидно, основне питання полягає в тому, щоб оцінити, якою мірою тест є ефективним. Перш за все, слід з'ясувати, чи існують складені числа , для яких при деякомувиконується умова малої теореми Ферма. Виявляється, це так, оскільки існують контрприклади: , .

8.1.1 Основні властивості псевдопростих чисел

Назвемо складене непарне число псевдопростим за основою , якщо пара чисел задовольняє порівняння Ферма .

Виявляється, можна показати, що для будь-кого існує нескінченно багато псевдопростих чисел за основою.

Основні властивості псевдопростих чисел такі.

Теорема [17]. Нехай – непарне складене число. Тоді:

1) - псевдопросте за основою в тому і лише тому випадку, коли і ;

2) якщо – псевдопросте за основою і , то – псевдопросте за основами і ;

3) множина утворює мультиплікативну підгрупу в мультиплікативній групі обернених елементів кільця лишків за модулем ;

4) якщо не є псевдопростим за основою хоча б для одного числа , то (тут через позначено кількість елементів, що належать множині ).

Помітимо, що . Таким чином, якщо тест Ферма виявляє складенепри одній основі, то існує не меншеоснов з аналогічною властивістю.

Дійсно, властивість 1) виходить з визначення . Властивості 2) і 3) виходять з правилапочленного перемножування частин порівнянь і перевірки порівняння Ферма для основи .

Доведемо властивість 4). Нехай і– основа, за якоюне є псевдопростим. Тоді для будь-якогопари чиселне задовольняють порівняння Ферма. Тому кількість основ, для якихне є псевдопростим, не менше, ніж кількість елементів в.

Отже, якщо, то спільне число елементів увиявиться більше, що неможливо.

Таким чином, можна сказати, що якщо існує (навіть не відома нам) основа, за якою не є псевдопростим, то, при повторенні тесту Фермараз, ймовірність-кратного вибору основ з множини не перевищує. В цьому випадку ймовірність помилки тесту наближається до нуля зі збільшенням.

Проблема може виникнути лише в тому випадку, якщо є псевдопростим для всіх (ненульових) основ. Виявляється, такі числа існують. Вони називаються числами Кармайкла. Наприклад, числом Кармайкла є число.

8.1.2 Властивості чисел Кармайкла

Властивості чисел Кармайкла описуються такою теоремою.

Теорема (Кармайкл). Нехай – непарне складене число. Тоді якщо:

1) ,, то не є числом Кармайкла;

2) , для , то – число Кармайкла в тому і лише тому випадку, коли ;

3) , для – число Кармайкла, то .

Числа Кармайкла є достатньо рідкісними. В межах до 100000 існує лише 16 чисел Кармайкла: 561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, 62745, 63973, 75361.