Ііі. Розміщення

Упорядковані підмножини n-елементної множини. Кількість розміщень із різних елементів

Означення 4. Множину, що містить n різних елементів, розіб’ємо на впорядковані підмножини, які містять по k елементів (k≤n) і різняться між собою упорядкованістю елементів (порядком розташування) та (або) принаймні одним елементом (деякі з них при k≤n/2 можуть різнитися також і всіма елементами). Такі підмножини n-елементної множини називають роміщеннями із n різних елементів по k елементів.

Оскільки число різних неупорядкованих k-елементних підмножин n-елементної множини дорівнює числу С_n^k сполучень із n різних елементів по k елементів і обчислюється за формулою (5), і оскільки кожну із таких множин можна упорядкувавти П_k способами (число переставлень із k елементів), то застосувавши основне правило комбінаторики (3), дістаємо формулу підрахунку кількості розміщень із n елементів по k елементів:

= (6)

Кількість розміщень із повтореннями елементів

Нехай є деяка множина із елементів різних типів (n типів), і елемент кожного типу в цій множині повторюється довільне число разів. Розглянемо розміщення із цих елементів, що містять k елементів з усіма можливими повтореннями серед цих k елементів (разом з можливою відсутністю повторень у випадку k≤n). На відміну від розміщень різних елементів, (6), для розміщень із повтореннями число k елементів в розміщенні з повтореннями може бути більшим від числа n різних елементів.

Для кількості розміщень із n елементів по k елементів з повтореннями елементів має місце формула

. (6₁)

Приклад 6. Кількість різних 8-значних двійкових слів, які можна побудувати за допомогою символів 1 та 0, є число розміщень з 2-х елементів по 8 із всіма можливими повтореннями серед цих 2-х елементів і обчислюється за формулою (6₁) при n=2, k=8: g_n^k=g₂⁸=2⁸=256. Для прикладу, запишемо одне із 8-значних двійкових слів: 10000001. 

Приклад 7. Скількома різними способами можуть розподілитися семеро пасажирів ліфта при виході від 2-го до 5-го поверхів?

 Вкажемо таблицею один із можливих розподілів

Пасажир	1	2	3	4	5	6	7
№ поверху	5	5	5	5	2	3	4

Згідно з таблицею кожному розподілу пасажирів на поверхах 2, 3, 4, 5 відповідає певне семизначне число із 4-х символів – розміщення з повтореннями із 4-х різних елементів по 7 елементів. Загальна кількість таких розміщень обчислюється за формулою (6₁) при n=4, k=7: g_n^k=g₄⁷=4⁷=16384. 

Запитання. Чи є еквівалентними розв’язаній задачі наступні задачі:

Скількома способами можуть розподілитися 7 однакових куль по 4-х лузах?

Скількома способами можуть бути розподіленими 7 призів серед 4-х осіб?

Означення 5. Множини, для елементів яких має місце взаємно-однозначна відповідність, називаються еквівалентними. Справедлива теорема: для того, щоб множини були еквівалентними, необхідно і достатньо, що вони мали однакову кількість елементів.