архив прош.сесий / архив прош.сесий / L_5_2014_MMS_Bazova
.pdf1
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ
Кафедра вищої математики
ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________
О. В. Барабаш "___" _____________20___ року
ЛЕКЦІЯ
з навчальної дисципліни
Математичні методи в соціології
Тема 1. Вступ до курсу “Математичні методи в соціології ”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні
Лекція 5. Системи випадкових величин; таблиця розподілу та умовні розподіли компонен-
ти двовимірної дискретної випадкової величини.
Навчальний час – 1,5 годин.
Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-
товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія
Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення із законом розподілу та умовними розподілами компоненти двовимірної дискретної випадкової величини.
2. Навчити студентів застосувати подані формули та правила для розв’язання прикладів.
Обговорено та схвалено на засіданні кафедри “___” _________ 20___ року Протокол №____
Київ – 20__
2
Зміст
Вступ
1. Поняття про систему випадкових величин
2. Система двох дискретних випадкових величин. Таблиця розподілу
3.Умовні розподіли компоненти системи дискретних випадкових величин.
4.Поняття незалежності двох випадкових величин. Необхідна і достатня умова незалежно-
сті компонент двовимірної випадкової величини, заданої таблицею розподілу.
Заключна частина.
Л I Т Е Р А Т У Р А
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.
Наочні посібники
Завдання на самостійну роботу
1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 120-123) та наступним текстом лекції.
Вступ – в лекції розглядається базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-
гії ”із теорії ймовірностей: Системи випадкових величин. Таблиця розподілу та умовні розподіли
компоненти двовимірної дискретної випадкової величини. Необхідна та достатня умови незалеж-
ності компонент двовимірної дискретної випадкової величини, заданої таблицею розподілу
1. Поняття про систему випадкових величин
Коли результат випробування характеризується не однією випадковою величиною, а суку-
пністю випадкових величин X1, X2 ,..., Xn , то таку систему випадкових величин називають ба-
гатовимірною випадковою величиною.
Наприклад, успішність студента-випускника характеризується системою n випадкових ве-
личин X1, X2 ,..., X n - оцінками з різних дисциплін у дипломі. Стан погоди в певній місцевості в
певний час доби характеризується системою випадкових величин: Х1 – температура повітря, Х2 –
вологість повітря, Х3 – атмосферний тиск, Х4 – швидкість вітру тощо.
На багатовимірні випадкові величини поширюються майже без змін всі основні означення,
які були розглянуті для одновимірної випадкової величини.
Геометрично двовимірну (Х1; Х2) та тривимірну (Х1; Х2 , Х3) випадкові величини можна зо-
бразити випадковою точкою або випадковим радіус-вектором площини ОХY чи тривимірного простору ОХYZ; при цьому випадкові величини Х, Y та Х, Y, Z є компонентами (складóвими) цих векторів. У випадку n–вимірного простору (n>3) також говорять про випадкові точки цього прос-
тору, хоча геометрична інтерпретація тут втрачає свою наочність.
3
Розглядають системи дискретних випадкових величин, неперервних випадкових величин, а
також і системи, до яких входять як дискретні, так і неперервні випадкові величини.
2. Система двох дискретних випадкових величин. Таблиця розподілу
Закони розподілу систем випадкових величин задаються різними способами. Одним із спо-
собів задання закону розподілу системи двох дискретних випадкових величин є таблиця розпо-
ділу з подвійним входом (матриця розподілу).
Таблиця 1 задає закон розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y), величина компо-
ненти Х якої може набувати m різних значень, а компоненти Y відповідно – n значень.
Таблиця 1. Таблиця розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y)
|
y j |
у1 |
у2 |
… |
yj |
… |
уn |
xi |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х1 |
|
р11 |
р12 |
… |
р1j |
… |
р1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 |
|
р21 |
р22 |
… |
р2j |
… |
р2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
рi1 |
рi2 |
… |
рij |
… |
рin |
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
хm |
|
рm1 |
рm2 |
… |
рmj |
… |
рmn |
|
|
|
|
|
|
|
|
Перший стовпчик таблиці містить усі можливі значення складової Х, а перший рядок – всі можливі значення складової Y. У клітинці, яка стоїть на перетині рядка xi та стовпчика yj вказано ймовірність рij=P(X=xi;Y=yj) того, що випадкова величина (Х;Y) набуде значення (xi;yj).
Так як події ( X xi ;Y y j ), (i 1, 2,..., m; j 1, 2,..., n) несумісні в одному і тому само-
му випробуванні та утворюють повну групу, то сума ймовірностей, розміщених в усіх клітинках
m n
таблиці, дорівнює одиниці: pij 1 .
i 1 j 1
Зауваження 1. Для подвійної суми має місце формула
m n
pij
i 1 j 1
m |
|
n |
|
n |
|
m |
|
|
|
pij |
|
pij |
, |
||||
i 1 |
|
j 1 |
|
j 1 |
|
і 1 |
|
|
тобто значення подвійної суми не залежить від порядку виконання операції сумування.
Рядок ймовірностей рxi=P(X=xi) для ряду розподілу компоненти Х (одновимірної ви-
падкової величини) можна отримати, обчисливши ймовірність події X xi (i 1,2,...,m ) як суму ймо-
вірностей несумісних подій:
p |
xi |
P( X x ) |
|
P |
( X x ) (Y y ) ... ( X |
x ) (Y |
y |
) ... ( X x ) (Y y |
) |
|
|||
|
i |
|
|
|
i |
1 |
i |
j |
i |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi1 |
... pij |
... pin pij ; |
i 1, 2,..., m |
|
|
|
j 1
4
|
|
Аналогічно для рядка ймовірностей рyj=P(Y=yj) ряду розподілу компоненти Y |
|
|
|
||||||||
p |
yj |
P(Y y |
) |
P (Y y |
) ( X x ) ... (Y y |
) ( X x ) ... (Y y |
) ( X x |
m |
) |
|
|||
|
j |
|
|
j |
1 |
j |
i |
j |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pi1 |
... pij ... pim |
pij ; |
j 1, 2,..., n |
|
|
|
|
|
i 1
Правило 1. Щоб з таблиці розподілу знайти ймовірність того, що одновимірна випадкова величи-
на, компонента Х чи компонента Y, набуде певного значення, потрібно додати ймовірності із від-
повідного цьому значенню рядка чи стовпчика таблиці розподілу, див. табл.1.
3. Умовні розподіли компоненти системи дискретних випадкових величин
Якщо зафіксувати значення однієї із компонент, наприклад, покласти Y=yj, то отриманий розподіл випадкової величини Х називається умовним розподілом Х за умови Y=yj. Ймовірності
рyj(xi) цього розподілу будуть умовними ймовірностями події (X=xi), знайденими за умови, що
подія (Y=yj) відбувається. Оскільки ймовірність добутку залежних подій дорівнює добутку ймові-
рності однієї з них і умовної ймовірності іншої, отримаємо в наших позначеннях:
pij |
P ( X xi ) (Y y j ) P(Y y j ) pyj (xi ) pуj |
p (xi ) , |
(1) |
|
|
yj |
|
Звідси для розрахунку умовної ймовірності одержимо формулу:
p |
|
(x ) |
P(( X xi ) (Y y j )) |
|
pij |
|
pij |
, |
j 1, 2,..., n , |
(2) |
|
yj |
|
|
m |
||||||||
|
i |
P(Y |
y j ) |
|
pyj |
|
|
|
|||
|
|
|
|
pij |
|
|
|
i 1
отже, маємо n рядів умовного розподілу компоненти X відповідно до n різних можливих зна-
чень компоненти Y.
Аналогічно умовний розподіл випадкової величини Y за умови X=xi :
p |
|
( y |
) |
P(( X xi ) (Y y j )) |
|
pij |
|
pij |
, |
i 1, 2,..., m , |
(3) |
xi |
|
|
n |
||||||||
|
j |
|
P( X xi ) |
|
pxi |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
pij |
|
|
|
j 1
m рядів умовного розподілу компоненти Y відповідно до m різних можливих значень X.
Правило 2. Щоб з таблиці розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y) знайти ряд умовного розподілу однієї з компонент Х (чи Y), за умови, що інша компонента набуває певного значення
Y=yj (чи X=xi), потрібно ймовірності із j-того стовпця (чи i-того рядка) таблиці розподілу ділити
на ймовірність набуття компонентою Y значення yj , тобто на суму ймовірностей із j-того стовпця (чи на ймовірність набуття компонентою Х значення хі , тобто на суму ймовірностей із і-того рядка).
4. Поняття незалежності двох випадкових величин. Необхідна і достатня умова незалежності компонент двовимірної випадкової величини, заданої таблицею розподілу.
Означення 1. Випадкові величини Х, Y називаються незалежними одна від іншої, якщо закон ро-
зподілу кожної не залежить від того, якого значення в результаті випробування набуває інша.
5
Для незалежних випадкових величин умовні розподіли кожної з них збігаються з безумовними.
Отже, при відомій таблиці розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y), можна знайти безу-
мовні розподіли її компонент (Правило 1), а також і їхні умовні розподіли (2), (3), Правило 2. Але за одними лише безумовними розподілами компонент (двома рядами розподілу) відновити закон розподілу двовимірної випадкової величини (Х;Y) (таблицю розподілу) можна лише у випадку не-
залежних випадкових величин Х та Y, тоді
рij=P(X=xi;Y=yj)=P(X=xi) P(Y=yj)=рi рj |
рij = рi рj, |
(4) |
на відміну від формули (1), згідно з якою для відновлення матриці розподілу системи (Х;Y) залеж-
них випадкових величин потрібно знати ряд розподілу однієї із компонент (Y або Х ) та n рядів умовного розподілу компоненти X (або m рядів умовного розподілу компоненти Y ). Рівність (4) є
необхідною і достатньою умовою незалежності компонент системи випадкових величин.
Приклад 1. Закон розподілу дискретної двовимірної випадкової величини (Х;Y) задано
таблицею розподілу, Таблиця 2.
Таблиця 2
X=xi ; і=1…m; m=2 |
|
Y=yj ; j=1…n; n=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
0,10 |
0,25 |
0,30 |
0,15 |
|
|
|
|
|
2 |
0,10 |
0,05 |
0,00 |
0,05 |
|
|
|
|
|
Знайти: а) ймовірність P(Y X ) ;
б) закони розподілів одновимірних випадкових величин Х та Y;
в) умовний закон розподілу випадкової величини Х за умови Y=2 та умовний закон розпо-
ділу випадкової величини Y за умови Х=1.
Розв’язання:
▼ а) Щоб знайти ймовірність P(Y X ) додаємо ймовірності рij несумісних подій з таблиці
розподілу, для яких y j xi (Таблиця 2). |
|
|
|
||||
Отримаємо: |
P(Y X ) 0,10 0, 25 0,10 0,05 0,00 0,5 . |
||||||
б) Для знаходження законів розподілів одновимірних випадкових величин Х та Y застосує- |
|||||||
мо Правило 1. |
Випадкова |
величина |
Х може набувати значень: Х=1 з імовірністю |
||||
p1 0.10 0.25 0.30 0.15 0.8 |
; Х=2 з імовірністю p2 0.10 0.05 0.00 0.05 0.2 , тобто ряд |
||||||
розподілу компоненти Х має вигляд, вказаний в Таблиці 3. |
|||||||
|
Таблиця 3. Ряд розподілу компоненти Х |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рxi |
|
0,8 |
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
В аналогічний спосіб отримаємо ряд розподілу компоненти Y, вказаний в Таблиці 4.
Таблиця 4. Ряд розподілу компоненти Y
|
|
yj |
|
-1 |
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рyj |
|
0,2 |
0,3 |
|
0,3 |
|
0,2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) Умовний закон розподілу Х за умови, що Y=2, отримаємо, застосувавши формулу (2), і |
||||||||||||
відповідно Правило 2: ймовірності pij |
, які задано в останньому стовпчику (n=4) таблиці 2 суміс- |
|||||||||||
ного розподілу |
випадкових |
величин |
Х і |
Y, розділимо на їхню |
суму, тобто на величи- |
|||||||
ну p(Y 2) 0, 2 |
відповідно до ряду розподілу компоненти Y, Табл.4. |
Отримаємо: |
||||||||||
|
Таблиця 5. Умовний закон розподілу Х за умови, що Y=2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
(x ) |
0,15 |
0, 75 |
|
0, 05 |
0, 25 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
i |
0, 2 |
|
|
|
|
0, 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Аналогічно, щоб отримати умовний закон розподілу Y за умови Х=1, застосуємо формулу |
||||||||||||||||||||||||||||||
(3) і відповідно Правило 2: ймовірності |
pij , які розміщено у першому рядку (m=1) таблиці 2 сумі- |
|||||||||||||||||||||||||||||
сного розподілу |
випадкових |
величин |
Х і Y, |
розділимо на їхню |
суму, тобто на величину |
|||||||||||||||||||||||||
p( X 1) 0,8 відповідно до ряду розподілу компоненти Х, Табл.3. |
Отримаємо: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Таблиця 6. Умовний закон розподілу Y за умови, що Х=2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
y j |
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
p |
|
( y |
|
) |
|
|
0,1 |
0,125 |
|
0, 25 |
0,3125 |
|
|
|
0, 3 |
0, 375 |
|
|
0,15 |
0,1875 |
|
||||||||
|
x1 |
j |
|
0,8 |
0,8 |
|
0,8 |
|
0,8 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
▲
Заключна частина
В лекції викладено базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ”із теорії ймовірностей: Системи випадкових величин; таблиця розподілу та умовні розподіли компоненти
двовимірної дискретної випадкової величини; необхідна та достатня умови незалежності компо-
нент двовимірної дискретної випадкової величини, заданої таблицею розподілу.
Канд. фіз-мат. н., доцент |
(О. Б. Омецінська) |