архив прош.сесий / L_2_2014_MMS_Bazova
.pdf1
ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОМУНІКАЦІЙ
Кафедра вищої математики
ЗАТВЕРДЖУЮ Завідувач кафедри ______________
О. В. Барабаш "___" _____________20___ року
ЛЕКЦІЯ
з навчальної дисципліни
Математичні методи в соціології
Тема 1. Вступ до курсу – предмет, метод та мета курсу “Математичні методи в соціології”. Базовий матеріал до курсу із теорії ймовірностей: Випадкові величини одно-та двовимірні.
Лекція 2. Базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціології ”із теорії ймовірностей: Опис закону розподілу неперервної випадкової величини диференціальною функцією – густиною розподілу (питомою ймовірністю).
Навчальний час – 1,5 годин.
Для студентів Навчально-наукового інституту Гуманітарних технологій за напрямом підго-
товки 402 соціологія, освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр, спеціальністю 6.040201 ”соціологія
Навчальна та виховна мета: 1. Ознайомлення із заданням закону розподілу неперервної випадкової величини диференціальною функцією.
2. Навчити студентів прийомів розрахунку ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.
Обговорено та схвалено на засіданні кафедри
“___” _________ 20___ року Протокол №____
Київ – 20__
2
Зміст
Вступ
1. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості.
2. Обчислення ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.
Заключна частина.
Л I Т Е Р А Т У Р А
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Теорія імовірностей та математична статистика. К.:ЦНЛ, – 2006 – 424 с.
Наочні посібники
Конспект лекції в електронному вигляді
Завдання на самостійну роботу
1.Вивчити матеріал лекції за підручником [1] (стор. 84-89) та наступним текстом лекції.
Вступ – в лекції розглядається базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-
гії ”із теорії ймовірностей: опис закону розподілу неперервної випадкової величини диференціа-
льною функцією – густиною розподілу (питомою ймовірністю). Виведено формули для обчислен-
ня ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.
1. Диференціальна функція розподілу неперервної випадкової величини, її властивості.
Задання закону розподілу випадкової величини у вигляді функції f(x) густини її розподілу
(диференціальної функції) можна застосовувати тільки до неперервних випадкових величин.
Розглянемо довільну об’ємну фігуру. Ймовірність влучення дротиком у деяку точку цієї фігури рівна нулю, тому що об’єм цієї точки практично дорівнює нулю (відповідно до геометрич-
ного визначення ймовірності події). Якби йшлося про масу речовини, неперервно і нерівномірно розподіленої в цьому об’ємі, то густина речовини (питома маса) у довільній точці об’єму виража-
ється конкретним числовим значенням (гранична величина відношення маси елементарного об’єму, виділеного в околі цієї точки, до величини цього об’єму, за умови, що максимальний діа-
метр елементарного об’єму прямує до нуля). Аналогічно, ймовірність набуття неперервною випад-
ковою величиною окремого (точкового) значення практично рівна нулю, а ось густина ймовірнос-
ті в окремій точці (питома ймовірність) може виражатись ненульовим числовим значенням.
3
Якщо розглянути ймовірність попадання неперервної випадкової величини X на проміжок
[х; х+ х], то гранична величина відношення значення цієї ймовірності до розміру х проміжку при його необмеженому звуженні, буде значенням функції f(x) питомої ймовірності (густини ймовір-
ності) неперервної випадкової величини X в точці х. Застосувавши формулу обчислення ймовір-
ності попадання неперервної випадкової величини на проміжок [х; х+ х] через приріст на цьому проміжку її функції F (x) розподілу, дістанемо:
f (x) lim |
P{x X x x} |
lim |
F (x x) F (x) |
F (x) , |
(1) |
||
x |
|
x |
|||||
x 0 |
x 0 |
|
|
згідно з поняттям похідної від функції.
Отже, функція F (x) розподілу випадкової величини X є первісною для функції f(x) питомої
ймовірності. Відповідно ці функції носять назви: F (x) – інтегральна функція розподілу випадкової величини; f(x) – диференціальна функція. Кажуть, що випадкова величина X розподілена з густи-
ною f(x) на деякому проміжку осі абсцис. |
|
||
Властивості щільності розподілу випливають із формули (1) для її визначення. |
|
||
1). Щільність розподілу є функція невід’ємна ( f (x) 0 ). |
|
||
2). За формулою (1) f (x) lim |
P{x X x x} |
, звідки дістанемо: |
|
|
|
||
x 0 |
x |
|
|
P{x X x x} f (x) x . |
(2) |
Отже, ймовірність попадання випадкової величини X в малий проміжок х в околі точки х, Рис.1, наближено дорівнює добутку значення в точці х густини f(x) розподілу випадкової ве-
личини на величину х проміжку.
3). Згідно з формулою (1) функція роз-
поділу ймовірностей F (x) є первісною для фун-
кції f(x) щільності розподілу. Тому на основі
Рис.1. P{X x} f (x) x формули обчислення ймовірності попадання неперервної випадкової величини на проміжок
[ ; ] через приріст її функції розподілу F (x) на цьому проміжку (див попередню лекцію) та фор-
мули Ньютона – Лейбніца обчислення визначеного інтеграла дістанемо формулу для розрахунку
ймовірності попадання випадкової величини X в заданий проміжок ( ; )
β |
|
P{α x β} f (x)dx . |
(3) |
α
4
Отже, ймовірність того, що неперервна випадкова величина попаде в інтервал [ ; ], рівна площі криволінійної трапеції, яка обмежена графіком у=f(x) диференціальної функції, віссю ОX і
прямими х= , х= .
|
|
4). Для густини розподілу виконується умова нормування: P{ x } |
f (x)dx 1, |
|
|
оскільки в результаті випробування випадкова величина обов’язково попадає на вісь ОX.
Якщо неперервна випадкова величина X визначена на скінченному проміжку [а;b], тобто,
множина її можливих значень належить проміжку [а;b], то умова нормування має такий ви-
b
гляд: f (x)dx 1.
a
5). Якщо всі можливі значення випадкової величини X належать інтервалу (a;b), то для x
зовні цього інтервалу, де функція розподілу ймовірностей F (x) набуває постійного значення (зна-
чення 0 зліва, при х a та значення 1 справа, при х>b), функція щільності розподілу випадкової ве-
личини має нульове значення, f(x)=F '(x)=0.
Якщо можливі значення випадкової величини належать всій числовій осі, то:
lim f (x) 0 ; |
lim f (x) 0 . |
x |
x |
6) Функція F(x) розподілу ймовірностей визначається через густину f(x) розподілу випад-
кової величини Х за формулою:
x |
|
F (x) P( X x) P( X x) f (x)dx , |
(4) |
що випливає із формули (3).
Зауваження 1. В геометричній інтерпретації відповідно до (4) функція розподілу ймовірно-
стей F(x) в т. x (інтегральна функція розподілу) дорівнює площі фігури, що знаходиться лівіше точки х і обмежена згори кривою розподілу f(x) (диференціальної функції розподілу). Повна пло-
ща, обмежена кривою розподілу f(x) та віссю абсцис, дорівнює 1.
2. Обчислення ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок.
Застосуємо теоретичний матеріал для розв’язання практичних задач на розрахунок ймовір-
ності попадання випадкової величини в заданий проміжок. Ця задача розв’язується за формулою
Р{ X<β}=F(β)–F( ), (5)
де F(x) – функція розподілу ймовірностей випадкової величини X, або ж лише для неперервної ви-
β
падкової величини за формулою (3), P{α x β} f (x)dx .
α
Приклад 1. Неперервна випадкова величина X задана функцією розподілу ймовірностей:
5
0, |
якщо |
x 0, |
|
якщо 0 x 2, |
|
F (x) sin(kx), |
||
1, |
якщо |
х 2. |
|
|
|
а) Знайти густину розподілу f(x) випадкової величини X і значення сталої k.
б) Побудувати графіки функцій у=F(x) розподілу ймовірностей та у=f(x) густини розподілу випадкової величини X.
в) Обчислити ймовірність попадання випадкової величини X в інтервал (2/3; 1).
▼ а) За визначенням густина розподілу неперервної випадкової величини є першою похід-
ною від функції розподілу: f (x) F (x) . Отже, дістанемо: |
|
|
0, |
якщо |
x 0, |
|
якщо 0 |
x 2, |
f (x) kcos(kx), |
||
|
якщо |
х 2. |
0, |
Сталий множник k знайдемо з умови нормування: f (x)dx
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
У |
нашому випадку |
|
f (x)dx k cos(kx)dx k |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
2k |
π |
, k |
π |
. |
|
|
2 |
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1.
sin(kx) |
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
[sin(2k) sin 0] 1 |
|
k |
||||
|
|
0 |
||
|
|
|
б) Графіки функцій F(x) та f(x) побудуємо по точках, Рис.2, Рис.3.
π |
|
π |
|
|
||
Так як вигляд функцій sin |
|
x |
, cos |
|
x |
відомий, то обмежимось обчисленням значень |
|
|
|||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
функцій F(x) та f(x) в деяких характерних точках: х=0, х=2, х=( /4), з урахуванням того, що sin0=0;
сos0=1; sin( /4)=сos( /4)=1/√2 0,71; sin( /2)=1, сos( /2)=0.
0, |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
||
F (x) sin( |
|
x), |
|
4 |
|||
|
|
||
1, |
|
|
|
|
|
|
Рис.2. Графік у=F(x) функції розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини
якщо x 0,
якщо 0 x 2,
якщо х 2.
6
0, |
|
|
якщо |
x 0, |
||
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|||
f (x) |
|
|
cos( |
|
x), якщо 0 |
x 2, |
4 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
х 2. |
||
0, |
|
|
якщо |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3. Графік у=f(x) густини розподілу випадкової величини Х
Скориставшись формулою (5), знайдемо:
в) Ймовірність попадання випадкової ве-
личини X в інтервал (2/3;1) обчислимо за однією з формул:
F (1) F (2 / 3), якщо відома F (x),
P(2 / 3 X 1) 1
f (x)dx, якщо відома f (x).
2/3
|
π |
|
π |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
P(2 / 3 X 1) F(1) F(2 / 3) sin |
|
1 |
sin |
|
2 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
0, 21 .▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||
Приклад 2. Задано густину розподілу неперервної випадкової величини X: |
||||||||||||||
0, |
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 x π / 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) cos x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x π / 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайти інтегральну функцію розподілу F(x).
x
▼ Скористаємось формулою (4), F (x) f (x)dx . Так як щільність розподілу задана
різними формулами на окремих інтервалах, то і функцію розподілу ймовірностей будемо знаходи-
ти окремо для кожного інтервалу.
Якщо x 0 , то f (x) 0 , тому
0 |
|
|
|
|
F (x) 0 dx 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо 0 x π / 2 , то |
|
|
||
0 |
x |
|
|
|
F (x) |
0 dx cos xdx sin x. |
|
||
|
0 |
|
|
|
Якщо x π / 2 , то |
|
|
|
|
0 |
π/2 |
x |
|
|
F(x) |
0 dx |
cos xdx |
0dx (sin x) |
0π/2 1. |
|
0 |
π/2 |
|
|
Отже, шукана функція розподілу ймовірностей має вигляд:
7
0, |
x 0, |
|
0 x π / 2, |
sin x, |
|
F (x) |
▲ |
1, |
x π / 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, якщо x 1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
bx, якщо 1 x 4; |
|||||
|
Приклад 3. Задано функцію F x ax |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, якщо x 4. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Довести, що можна підібрати такі значення a і b, при яких F(x) буде функцією розподілу |
||||||||||||||||||||
ймовірностей неперервної випадкової величини Х. Знайти P 1 X 4 та P 2 X 3 . |
|||||||||||||||||||||
|
▼ Щоб знайти a і b, скористаємося вимогою неперервності функції F(x) в точках х=1 і х=4. |
||||||||||||||||||||
Дістанемо систему рівнянь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
a b 0, |
|
|
a b, |
b |
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
|
12 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
16a 4b 1. |
|
|
16b |
4b 1. |
a |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Отже, |
F x |
1 |
x2 |
1 |
|
x якщо x 1; 4 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Доведемо, що на цьому проміжку функція F(x) є неспадною. Відшукуємо похідну функції: |
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
x 6 x 12 . Похідна дорівнює нулю при |
x 2 . На проміжку (1;4) похідна функції F(x) до- |
датна, а значить, ця функція зростає. Отже, F(x) задає функцію розподілу ймовірностей випадкової величини Х.
Обчислимо ймовірність попадання випадкової величини Х в проміжок (1;4):
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
12 |
|
|
|||||
P 1 X 4 F 4 F(1) |
|
|
16 |
|
|
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
12 |
|
12 |
|
|
|
12 |
|
12 |
|
|
12 |
|
|
Розрахунок вірний, оскільки ймовірність попадання значення випадкової величини в про-
міжок всіх її можливих значень дорівнює 1.
Обчислимо ймовірність попадання випадкової величини Х в проміжок (1;4):
P 2 X 3 F 3 F(2) 121 9 121 3 121 4 121 2 124 13. ▲
Заключна частина . В лекції викладено базовий матеріал до курсу “Математичні методи в соціоло-
гії ”із теорії ймовірностей: густина розподілу неперервної випадкової величини, властивості диференціаль-
ної функції; подано формули розрахунку ймовірності попадання випадкової величини в заданий проміжок
та показано застосування цих формул при розв’язанні прикладів. |
|
Канд. фіз-мат. н., доцент |
(О. Б. Омецінська) |