Іі. Сполучення

Невпорядковані підмножини n-елементної множини. Кількість сполучень із різних елементів

Множину, що містить n різних елементів, розіб’ємо на невпорядковані підмножини, які містять по k елементів (k≤n) і різняться між собою принаймні одним елементом.

Означення 3. Довільна k-елементна підмножина n-елементної множини називається сполученням із n різних елементів по k елементів; порядок елементів в підмножині не має значення.

Кількість сполучень із n різних елементів по k обчислюється за формулою, яку неважко вивести, застосувавши основне правило комбінаторики (3):

; k≤n, 0!=1. (5)

Приклад 4. Партія складається з 10-ти стандартних (С) і 5-ти нестандартних (Н) деталей. Із партії навмання беруть групу із 5-ти деталей. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей 3 виявляться стандартними.

 Подія А — «серед 5 деталей 3 – стандартні і 2 – нестандартні».

Поначимо одну із можливих груп взятих деталей у такий спосіб , тобто: група містить 4 стандартні і 1 нестандартну деталі. Порядок у кожній з груп неістотний, тому вони належать до сполучень. Але, скажімо подія та інша можлива подія – нерівноможливі в даному випробуванні, а саме, остання можливіша від першої, оскільки в партії вдвічі більше стандартних деталей. Отже, сполучення з повтореннями елементів загалом не є рівноможливими. Для підрахунку кількості рівноможливих елементарних подій випробування виокремо кожну із 15-ти деталей, надавши їм у відповідність числа-номери від 1 до 15. Тоді кількість усіх елементарних подій (елементів множини Ω) – число сполучень із 15-ти різних номерів:

.

Виділимо із цієї множини рівноможливих елементарних подій підміножину m подій, що становлять подію А.

Міркуємо так: 3 стандартні деталі з 10 стандартних (прономерованих) можна вибрати рівноможливими способами, а 2 нестандартні з 5 – способами. Отже, за правилом множення комбінаторики дістанемо кількість елементарних подій в підмножині, яка становить подію А,

.

Для ймовірності події А дістанемо:

P(А)=m/n=1200/3003=400/1001≈0,4.

Зауваження 2. Ймовірність події А не залежить від того беруться 5 деталей із партії навмання всі разом чи одна за одною. Це буде показано після викладу теореми про ймовірність добутку залежних подій. 

Кількість сполучень із повтореннями елементів

Нехай є деяка множина із елементів різних типів (n типів), і елемент кожного типу в цій множині повторюється довільне число разів. Розглянемо сполучення із цих елементів, що містять k елементів, але з усіма можливими повтореннями серед цих k елементів (разом з можливою відсутністю повторень у випадку k≤n). На відміну від сполучень різних елементів, (5), для сполучень із повтореннями кількість k елементів в сполученні з повтореннями може бути більшою від числа n різних елементів.

Для кількості сполученьіз n різних елементів по k елементів з повтореннями має місце формула

. (5₁)

Приклад 5. Всі можливі сполучення по 3 елемента із елементів А, Б із повтореннями серед них: ААА, БББ, ААБ, ББА. Кількість таких сполучень дорівнює 4. Це число збігається з підрахованим за формулою (5₁): .