2. Математичний апарат тед

2.1. Векторний та скалярний добуток. Скалярні та векторні поля. Векторний аналіз. Інтегральні лінії векторного поля.

Вектор – величина, що характеризується не тільки числом (значенням), але й напрямом.

Звичайно використовують прямокутну, циліндричну та сферичну системи координат. Наприклад, в прямокутний системі координат вектор має складовіта:

.

z

Визначена операція суми векторів, яка зводиться до складення їх складових:

Скалярний добуток визначено як

, це скаляр.

Для скалярних добутків векторів-ортів мають місце такі співвідношення:

Тому легко перевірити, що

Запитання: коли скалярний добуток векторів дорівнює нулю, якщо вектори не рівні нулю? Відповідь: якщо вони ортогональні (перпендикулярні).

Векторний добуток визначено як

,

де - орт, перпендикулярній площині, в якій лежать векторита. Напрям векторавизначається за відомим правилом "правого свердла", як показано на рисунку.

Важливо відмітити, що векторні добутки ортів знаходяться так:

, ,,.

Завдання на самостійну роботу: знайти вираз для векторного добутку векторів .

Розв'язання:

Важливо відмітити: .

2.2 Добуток матриць (лінійне перетворення)

Якщо задані матриці та

то добуток матриць знаходиться за формулою

.

2.3. Градієнт скалярної функції

grad-направлений в сторону максимального збільшення і дорівнює швидкості змінив цьому напрямку.

grad

Градієнт показує швидкість зміни функції φ в напрямку її найшвидшої зміни.

Градієнт - це вектор. Які проекції має градієнт? Складові градієнту дорівнюють швидкості зміни скалярної функції вздовж вісіx, y та z:

Висновок: скалярне полепороджує векторне полеgrad.

Часто застосовується символічний векторний оператор "набла" :

Запис - означає множення(вектор) на скаляр:

= grad.

2.4. Векторні або силові лінії

Це лінії, дотичні до яких в кожній точці показують напрям вектора.

Чим густіше векторні лінії. тим більша величина поля (вектора).

Кількість ліній, які проходять через площину, пропорціональна абсолютному значенню вектора.

Можуть бути принципово різні варіанти структури векторних ліній, наприклад:

2.5. Дивергенція векторної функції

Операція над вектором, за допомогою якої можна визначити, чи є в області Vвитік чи стік вектору, має назву дивергенція.

Потоком Ф вектора через поверхню S називається інтеграл .

У виразі під інтегралом - скалярний добуток ,

де -зовнішня нормаль до поверхні S, інколи для неї користуються позначенням .

Потік , якщо силові лінії виходять з поверхні, та, якщо входять.

Якщо потік більше нуля, то з середині об’єму Vє виток силових ліній, якщо менше нуля – то там є стік.

Дивергенція вектора - це скалярна величина

.

Дивергенція є функція координати точці спостереження.

Якщо в точці дорівнює нулю, то тут немає джерел вектора (витоків та стоків), силові лінії не починаються і не закінчуються в цій точці.

Завдання на самостійну роботу:

1. Довести формулу .

2. Довести, що дивергенцію можна також виразити за допомогою символічного вектора як скалярний добуток векторівта:.

2.6. Ротор векторної функції

Циркуляцією вектора по замкненому контуру Г називають інтеграл Ц=.

Ротором вектора називається векторна величина, що має три складові:

.

Проекції ротора на напрямок (в прямокутній системі координат це) дорівнює в околиці елемента поверхні

.

Ротор можливо виразити через проекції вектора на координатні вісі. У прямокутній системі координат справедливо рівняння

.

Ротор також можливо виразити за допомогою вектора як векторний добуток.

Таким чином, ротор – це операція над компонентами вектора, яка приводить до отримання нового вектора.

2.7. Деякі властивості ротора і дивергенції.

оператор Гамільтона , «набла» .

Λ - оператор Лапласа, «лапласіан» .

Оператор Лапласа над скаляром – це скаляр: .

Оператор Лапласа над вектором приводить до нового вектора:

.

2.8. Теореми Остроградського-Гауса і Стокса.

Це векторні інтегральні формули, які використовуються при операціях з векторами електромагнітного поля.

а) формула Остроградського-Гауса : інтеграл по об’ємуV від дивергенції вектора дорівнює потоку векторачерез поверхню, що обмежує цей об’єм.

б) Теорема Стокса : поверхневий інтеграл від ротора векторапо поверхніS дорівнює лінійному інтегралу цього вектора (циркуляції), що взятий по замкнутому контуру L, який обмежує цю поверхню.

в) справедлива аналогічна формула Остроградського-Гауса для роторавектора:

.