Обертальний рух матеріальної точки відносно нерухомої осі

Якщо тіло обертається відносно нерухомої осі, то кожна його точка рухається по колу відповідного радіуса (рис. 1.11). Розглянемо рух матеріальної точки по колу

(1.59)

Знайдемо роботу сили F:

Роботу виконує тільки тангенціальна складова сили F:

Потужність обертального руху:

(1.59)

Для твердого тіла, оскільки для його точок є однаковим, то:

, (1.60)

де M— рівнодійна моментів сил, прикладених до однієї точки.

Знайдемо кінетичну енергію матеріальної точки, що обертається навколо нерухомої осі:

Отже, для обертального руху:

(1.61)

Величина, що дорівнює добутку маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання називається моментом інерціїматеріальної точки.

(1.62)

Відповідно для кінетичної енергії обертального руху можна записати:

(1.63)

За теоремою про зміну кінетичної енергії:

(1.64)

У векторній формі:

(1.64а)

Це є основне рівняння динаміки для обертального руху або ІІ закон Ньютона для обертального руху.

Для абсолютно твердого тіла, оскільки для нього ωіεоднакові для всіх точок, то:

(1.65)

(1.66)

Моментом інерції твердого тіла називається дорівнює сумі сума моментів інерційелементів мас з яких це тіло складається. Аналогічно основне рівняння динаміки обертального руху тіла має вигляд:

,

де - рівнодійна моментів всіх сил, прикладених до тіла,I- момент інерції тіла,- кутове прискорення тіла.

Приклад.

Знайдемо момент інерції стержня довжиною L, масоюmвідносно осі, що проходить через його центр мас (рис. 1.12). Для цього розділимо стержень на елементи масиdm. Відстань до елемента маси від осіх.

Теорема Штейнера (Гюйгенса)

Нехай нам заданий момент інерції твердого тіла відносно осі, що проходить через центр його мас(рис. 1.13).

Знайдемо момент інерції цього тіла відносно осі , яка паралельна попередній і віддалена від неї на відстаньd. Проведемо черезdmплощину паралельну XOY:

- момент інерції тіла відносно осіS.

(1.67)

Отже, момент інерції твердого тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла, що проходить через його центр мас і яка паралельна попередній, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

Лекція 3. Робота. Енергія. Потужність

Предметом вивчення природних наук є форми руху матерії. З досліду відомо, що рух може переходити з однієї форми в іншу, але він не знищувальний, оскільки сама матерія знаходиться в безперервному русі. Мірою руху матерії є фізична величина, яка називається енергією.

Як показують експерименти при переході руху з однієї форми в іншу зменшення енергії пов'язане з рухом однієї форми і рівне приросту енергії, пов'язаного з рухом іншої форми. Кількість енергії, яка перейшла з однієї форми в іншу дорівнює різниці енергії до переходу і після переходу. Різниця цих енергій, тобто кількість енергій яка перейшла з однієї форми в іншу називається роботою.

Вмеханіці під роботою сили, під дією якої тіло здійснює переміщення(рис. 1.14) називається фізична величина, яка визначається із співвідношення:

, (1.68)

де α— кут між векторамиі,- проекція векторана переміщення.

Виходячи з поняття скалярного добутку, роботу можна визначити за формулою:

(1.69)

У випадку якщо тіло рухається по кривій (по криволінійній траєкторії), то для того, щоб знайти роботу сили, що діє на тіло при переміщенні його між двома точками, потрібно цю траєкторію розбити на достатньо малі ділянки, такі, щоб їх можна було вважати прямолінійними, а силу на цих ділянках сталою, знайти роботу на кожній з цих ділянок і результати скласти.

На графіку залежності сили Fвід переміщенняlробота буде рівна площі криволінійної трапеції (рис. 1.15). В загальному випадку роботу тіла при переміщенні тіла з т.1 в т.2 знаходять із співвідношення:

(1.68)

Якщо на тіло діє не одна, а декілька сил, то тоді рівнодійна:

(1.69)

і тоді: ,

а робота:

. (1.70)

Робота, виконана декількома силами, що діють на дане тіло дорівнює алгебраїчній сумі робіт виконаних кожною силою окремо. В СІ одиницею роботи є 1 Дж = 1 Н ∙ 1 м

Величина

(1.71)

називається кінетичною енергієютіла, а співвідношення:

(1.72)

називається теоремою про кінетичну енергію:робота сили при переміщенні матеріальної точки дорівнює приросту кінетичної енергії цієї точки.

Робота, виконана силою гравітаційного тяжіння, не залежить від форми траєкторії, по якій рухається тіло, а визначається тільки початковим і кінцевим положенням тіла. Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії по якій рухається тіло, називаються консервативними. Якщо залежить, тонеконсервативними. А поля, в яких діють консервативні сили –потенціальними. Робота консервативних сил по замкнутому контуру рівна нулю. Це є математичний критерій потенціальності поля консервативних сил:

(1.73)

Тобто, циркуляція вектора сили по довільному замкненому контуруL дорівнює нулю.

Потенціальна енергія– це функція стану величини, яка визначається тільки положенням, диференціал цієї величини дорівнює елементарній роботі з протилежним знаком.

Потенціальна енергія тіла в полі земного тяжіння:

(1.74)

Потенціальна енергія тіла, піднятого на висоту hнад нульовим рівнем:

(1.75)

Потенціальна енергія стягнутої (розтягнутої) пружини:

(1.76)