Р е ш е н и е. Данное уравнение перепишем в виде
|
sinh(t ¡ |
1) |
Z |
t |
|
sinh(t) |
|
Z |
1 |
|
|
x(t) = et + ¸ |
|
sinh s x(s) ds + ¸ |
|
sinh(s |
¡ |
1)x(s) ds: |
|||||
sinh 1 |
|
|
sinh 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
0 t
Дифференцируя дважды, получим |
Z |
||||||
|
sinh 1 |
Z |
|
|
sinh 1 |
||
|
cosh(t ¡ 1) |
|
t |
|
cosh(t) |
|
1 |
x0(t) = et +¸ |
|
|
|
sinh s x(s) ds+¸ |
|
|
|
(1.13)
sinh(s¡1)x(s) ds;
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x00(t) = et+ |
¸ sinh(t ¡ 1) |
|
sinh s x(s) ds+¸ |
sinh(t) |
|
Zt |
sinh(s |
|
1)x(s) ds+ |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
sinh 1 |
Z0 |
|
|
|
sinh 1 |
|
|
¡ |
|
||||
+¸ |
cosh(t ¡ 1) |
sinh tx(t) |
¡ |
¸ |
cosh(t) |
sinh(t |
¡ |
1)x(t); |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
sinh 1 |
|
|
|
sinh 1 |
|
|
|
|
|||||
или
x00(t) = x(t) + ¸x(t):
Полагая в (1.13) t = 0 и t = 1; получим, что x(0) = 1; x(1) = e: Искомая функция x(t) является решением неоднородной краевой задачи
x00(t) ¡ (¸ + 1)x(t) = 0; |
(1.14) |
x(0) = 1; x(1) = e: |
|
Рассмотрим следующие случаи:
1). ¸ + 1 = 0, т. е. ¸ = ¡1: Уравнение (1.14) имеет вид x00(t) = 0: Его общее решение x(t) = C1t + C2: Учитывая краевые условия (1.14),
получим для нахождения постоянных C1 и C2 систему
(
C1 = 1;
C1 + C2 = e;
решая которую находим C1 = e ¡ 1; C2 = 1; и, следовательно,
x(t) = (e ¡ 1)t + 1:
2). ¸ + 1 > 0, т. е. ¸ > ¡1 (¸ 6= 0): Общее решение уравнения (1.14) p p
x(t) = C1 cosh ( ¸ + 1 t) + C2 sinh ( ¸ + 1 t):
Краевые условия (1.14) дают для нахождения C1 и C2 систему
C1 = 1; |
|
|
|
|
(C1 cosh (p¸ + 1) + C2 sinh (p¸ + 1) = e; |
||||
откуда |
|
|
= e ¡ cosh p¸ + 1 |
|
C = 1; |
C |
|
: |
|
1 |
|
2 |
sinh p¸ + 1 |
|
Искомая функция x(t) после несложных преобразований приводится к
виду |
|
|||||
x(t) = sinh p |
¸ + 1(1 ¡ t) + e sinh p |
|
t |
|
||
¸ + 1 |
: |
|||||
|
sinh p |
|
|
|
||
|
¸ + 1 |
|
||||
3). ¸ + 1 < 0, т. е. ¸ < ¡1: Обозначим ¸ + 1 = ¡¹2: Общим решением уравнения (1.14) будет x(t) = C1 cos ¹t + C2 sin ¹t: Краевые
условия (1.14) дают систему |
|
C1 = 1; |
|
(C1 cos ¹ + C2 sin ¹ = e: |
(1.15) |
Здесь в свою очередь возможны два случая:
1. ¹ не является корнем уравнения sin ¹ = 0: Тогда
C1 |
= 1; C2 |
= |
e ¡ cos ¹ |
; |
|
sin ¹ |
|||||
|
|
|
|
и, следовательно,
x(t) = cos ¹t + e ¡ cos ¹ sin ¹t; sin ¹
где ¹ = p¡¸ ¡ 1:
2.¹ является корнем уравнения sin ¹ = 0; т. е. ¹ = n¼ (n = 1;2;:::): Система (1.15) несовместна, а следовательно, данное уравнение (1.12)не имеет решений. В этом случае соответствующее однород• ное интегральное уравнение
Z1 |
|
x(t) ¡ (1 + n2¼2) K(t;s)x(s) ds = 0 |
(1.16) |
0
имеет нетривиальные решения , т. е. числа ¸n = ¡(1+n2¼2) явля• ются характеристическими числами, а функции xn(t) = sin n¼t
– собственными функциями уравнения (1.16).
Задание 1. Найти характеристические числа и собственные функ• ции для следующих однородных интегральных уравнений с вырожден•
ным ядром:
¼
1.1. x(t) ¡ ¸ R4 sin2 t x(s) ds = 0:
0
1.2. x(t) ¡ ¸ R2¼ sin t cos s x(s) ds = 0:
0
1.3. x(t) ¡ ¸ R2¼ sin t sin s x(s) ds = 0:
0
1.4. x(t) ¡ ¸ R¼ cos(t + s)x(s) ds = 0:
0
1.5. x(t) ¡ ¸ R1(45t2 ln s ¡ 9s2 ln t)x(s) ds = 0:
0
1.6. x(t) ¡ ¸ R1(2ts ¡ 4t2)x(s) ds = 0:
0
1.7. x(t) ¡ ¸ R1 (5ts3 + 4t2s)x(s) ds = 0:
¡1
1.8. x(t) ¡ ¸ R1 (5ts3 + 4t2s + 3ts)x(s) ds = 0:
¡1
1.9. x(t) ¡ ¸ R1 (t cosh s ¡ s sinh t)x(s) ds = 0:
¡1
1.10. x(t) ¡ ¸ R1 (t cosh s ¡ s2 sinh t)x(s) ds = 0:
¡1
1.11. x(t) ¡ ¸ R1 (t cosh s ¡ s cosh t)x(s) ds = 0:
¡1
1.12. x(t) ¡ ¸ R1 (ts + t2s3)x(s) ds = 0:
¡1
1.13. x(t) ¡ ¸ R1 (t2 cosh s ¡ s2 cosh t)x(s) ds = 0:
¡1
1.14. x(t) ¡ ¸ R1 (t3 cos s ¡ s2 cos t)x(s) ds = 0:
¡1
1.15. x(t) ¡ ¸ R1 (ts ¡ 1)x(s) ds = 0:
¡1 2
Задание 2. В пространстве L2[a;b] найти решение интегрального
уравнения
Zb
x(t) ¡ ¸ K(t;s)x(s) ds = y(t)
a
с помощью разложения в ряд по собственным функциям.
2.1. K(t;s) = sin(t + s); f(t) = t + sin t; x(t) 2 L2[0;¼2 ]; 2.2. K(t;s) = cos(t + s); f(t) = cos t + 1; x(t) 2 L2[0;¼];
2.3. K(t;s) = sin(t + s); f(t) = t + 1; x(t) 2 L2[0;¼];
2.4. K(t;s) = et+s; f(t) = tet; x(t) 2 L2[0;1];
2.5. K(t;s) = ts + t2s2; f(t) = t2 + t + 1; x(t) 2 L2[¡1;1]; 2.6. K(t;s) = cos2(t ¡ s); f(t) = sin 2t + 1; x(t) 2 L2[¡¼;¼];
2.7. K(t;s) = cos(t + s); f(t) = t2; x(t) 2 L2[0;¼2 ];
2.8.
K |
(t;s) = |
t(s ¡ 1); 0 6 t 6 s; |
f(t) = cos ¼t; x(t) |
2 |
L |
[0;1]; |
|||
|
((s + 1)t; s 6 t 6 1: |
|
2 |
|
|||||
2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K(t;s) = |
(t + 1)s; 0 t s; |
f(t) = t3 ¡ t2; x(t) 2 L2[0;1]; |
|||||||
(s |
¡ |
t; s 6 t66 16; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t(s |
1); t 6 s; |
f(t) = sin ¼t; x(t) 2 L2[0;1]; |
||||
|
K(t;s) = (s(t |
¡ 1); s 6 t; |
|||||||
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
2.11.K(t;s) = min(t;s); f(t) = sin ¼t; x(t) 2 L2[0;1];
2.12.K(t;s) = 2 cos(t ¡ s); f(t) = t2 + t + 1; x(t) 2 L2[0;¼];
2.13.K(t;s) = ts; f(t) = t; x(t) 2 L2[0;1];
2.14. |
(cos t sin s; s 6 t; |
f(t) = t; x(t) 2 L2h0; 2 i; |
||
K(t;s) = |
||||
|
sin t cos s; t 6 s; |
|
¼ |
|
2.15.
(
K(t;s) = t(s + 1); t 6 s; s(t + 1); s 6 t;
2.16.
(
K(t;s) = (t + 1)(s ¡ 2); t 6 s; (s + 1)(t ¡ 2); s 6 t;
2.17.
(
K(t;s) = sin t sin(s ¡ 1); t 6 s; sin s sin(t ¡ 1); s 6 t;
2.18.
(
K(t;s) = sin t sin(s ¡ 1); t 6 s; sin s sin(t ¡ 1); s 6 t;
2.19. |
|
|
t(s |
¡ |
1); t 6 s; |
K(t;s) = (s(t |
1); s 6 t; |
|
|
¡ |
|
f(t) = t; x(t) 2 L2[0;1];
f(t) = sin 2t; x(t) 2 L2[0;1];
f(t) = t ¡ 1; x(t) 2 L2[¡¼;¼];
f(t) = cos 3t; x(t) 2 L2[0;¼];
f(t) = t ¡ 1; x(t) 2 L2[0;1];
2.20.K(t;s) = cos(t + s); f(t) = sin t; x(t) 2 L2[0;¼];
2.21.K(t;s) = s1=3 + t1=3; f(t) = t2 + 1; x(t) 2 L2[¡1;1];
2.22.K(t;s) = t2s + s2t; f(t) = t + 1; x(t) 2 L2[¡1;1]:
Задание 3. Решить следующие неоднородные интегральные сим• метричные уравнения:
2 |
1 |
|
t |
|
|
3.1. x(t) ¡ |
¼ |
R0 |
K(t;s)x(s) ds = |
|
; |
4 |
2 |
||||
|
|
8 |
t(2 ¡ s) |
; 0 |
6 |
t |
6 |
s; |
||
K |
(t;s) = |
|
2 |
t) |
; s |
t |
1: |
|||
|
>s(2 |
|
|
|
||||||
|
|
< |
|
¡ |
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
> |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2. x(t) + R1 K(t;s)x(s) ds = tet;
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
sinh |
t sinh(s |
¡ |
1) |
; 0 |
6 t 6 s; |
|||
|
(t;s) = |
|
sinh 1 |
|
|||||||
|
|
¡ |
|
||||||||
K |
|
< |
|
|
1); s |
6 |
t |
6 |
1: |
||
|
>sinh s sinh(t |
|
|
|
|||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
sinh 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3.3. x(t) ¡ R1 K(t;s)x(s) ds = t ¡ 1;
0
(
K(t;s) = t ¡ s; 0 6 t 6 s; s ¡ t; s 6 t 6 1:
¼
3.4. x(t) ¡ R2 K(t;s)x(s) ds = cos 2t;
0
|
sin t cos s; 0 6 t 6 s; |
|
K(t;s) = (sin s cos t; s 6 t 6 ¼2 : |
¼ |
|
3.5. x(t) + 2 R0 |
K(t;s)x(s) ds = 1; |
|
sin t cos s; 0 6 t 6 s; |
|
K(t;s) = (sin s cos t; s 6 t 6 ¼: |
¼ |
|
3.6. x(t) ¡ 8 R0 |
K(t;s)x(s) ds = 1; |
|
sin t cos s; 0 6 t 6 s; |
|
K(t;s) = (sin s cos t; s 6 t 6 ¼: |
3.7. x(t) ¡ 4 R1 K(t;s)x(s) ds = t;
0 |
|
|
|
K(t;s) = |
(t + 1)(s |
¡ |
3); 0 6 t 6 s; |
((s + 1)(t |
3); s 6 t 6 1: |
||
|
|
¡ |
|
3.8. x(t) + 9 R1 K(t;s)x(s) ds = t;
0 |
|
|
|
K(t;s) = |
(t + 1)(s |
¡ |
3); 0 6 t 6 s; |
((s + 1)(t |
3); s 6 t 6 1: |
||
|
|
¡ |
|
3.9. x(t) ¡ R¼ K(t;s)x(s) ds = sin t;
0
(
sin(t + ¼ ) cos(s ¡ ¼ ); 0 6 t 6 s; K(t;s) = 4 4
sin(s + ¼4 ) cos(t ¡ ¼4 ); s 6 t 6 ¼:
3.10. x(t) ¡ R1 K(t;s)x(s) ds = sinh t;
0
K(t;s) = |
e¡s sinh t; 0 6 t 6 s; |
(¡e¡t sinh s; s 6 t 6 1: |
|
|
¡ |
3.11. x(t) + 2 R1 K(t;s)x(s) ds = cosh t;
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
cosh |
t cosh(s |
¡ |
1) |
; 0 |
6 t 6 s; |
|||
|
(t;s) = |
|
sinh 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
K |
|
< |
|
|
|
1); s |
6 |
t |
6 |
1: |
|
|
>cosh s cosh(t ¡ |
|
|
||||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
sinh 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3.12. x(t) ¡ 4 R¼ jt ¡ sjx(s) ds = 1;
0R¼
3.13.x(t) ¡ 16 jt ¡ sjx(s) ds = 1:
0
3.14. x(t) ¡ R1 sin s sin t x(s) ds = 1 ¡ sin t:
0
3.15. x(t) ¡ R1 cos s cos t x(s) ds = cos t:
0