Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tema 6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

222.66 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

ТЕМА 6. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕН• НЫЕ ВЕКТОРЫ КОМПАКТНОГО ОПЕРАТОРА

Пусть X – нормированное векторное пространство, A : X ! X – линейный оператор.

О п р е д е л е н и е 1. Число ¸ называется собственным значением оператора A; если существует ненулевой вектор x 2 X такой, что

Ax = ¸x:

(1.1)

Вектор x =6 0 называется собственным вектором, отвечающим соб• ственному значению ¸ оператора A:

Поскольку наряду с вектором x вектор cx(c ¡ const; c 6= 0) также является собственным, то собственные векторы можно считать норми• рованными, например, условием kxk = 1:

Максимальное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих данному собственному значению, называют кратностью этого собственного значения.

Лемма 1. Собственные векторы линейного оператора, отвечаю• щие различным собственным значениям, линейно независимы.

П р и м е р 1. Пусть A : Rn ! Rn – линейный оператор, опреде• ленный матрицей (aij); i;j = 1;n: Тогда для нахождения собственных значений оператора A, необходимо, чтобы уравнение (A ¡ ¸E)x = 0 имело нетривиальное решение. Это равносильно тому, что

detjA ¡ ¸Ej = 0:

(1.2)

Уравнение (1.2) называется характеристическим уравнением. Таким образом, в конечномерном пространстве, собственными зна•

чениями линейного оператора являются корнями характеристического уравнения.

Пусть теперь X – банахово пространство, A : X ! X – компакт• ный оператор. Пусть ¸ – собственное значение оператора A, а X¸ – собственное подпространство, состоящее из собственных векторов, от• вечающих значению ¸.

Теорема 1. Пусть X – банахово пространство, A 2 K (X). То• гда его собственное подпространство X¸; отвечающее собственному значению ¸ =6 0; конечномерно.

Теорема 2. Пусть X – банахово пространство, A 2 K (X): То• гда для любого " > 0 вне круга j¸j 6 " комплексной плоскости (веще• ственной оси) может содержаться лишь конечное число собствен• ных значений оператора A:

Следствие 1. Множество значений компактного оператора не бо• лее чем счетно и может быть занумеровано в порядке невозрастания модулей j¸1j > j¸2j > и ¸n ¡! 0 при n ¡! 1:

П р и м е р 2. Рассмотрим интегральный оператор Фредгольма

Zb	(1.3)
Ax(t) = K(t;s)x(s) ds

с непрерывным комплекснозначным ядром K(t;s): Будем решать зада• чу на собственные значения и собственные вектора вида

Zb	(1.4)
Ax(t) = K(t;s)x(s) ds = ¸x(t):

Поскольку ядро K(t;s) непрерывно, то оператор A является компакт• ным. Для (1.4) возможны следующие варианты:

1.(1.4) имеет лишь нулевое решение: x(t) = 0 при ¸ 6= 0: Это озна• чает, что интегральный оператор не имеет собственных значений отличных от нуля;

2.Существует конечное число собственных значений, отличных от нуля;

3.Существует последовательность собственных значений ¸n; при• чем ¸n ! 0 при n ! 1:

Впространстве L2[a;b] рассмотрим интегральное уравнение Фред• гольма второго рода с комплекснозначным параметром ¸

Zb	(1.5)
x(t) ¡ ¸ K(t;s)x(s) ds = y(t)

Будем предполагать, что ядро K(t;s) интегрального оператора таково, что уравнение (1.5) является уравнением с компактным оператором.

Число 1=¸;¸ 6= 0 называют характеристическим числом инте• грального оператора. Тогда альтернатива Фредгольма для уравнения (1.5) может быть сформулирована следующим образом:

Теорема 3. Для того, чтобы уравнение (1.5) было разрешимо для любого y 2 L2[a;b] необходимо и достаточно, чтобы ¸ не было характеристическим числом интегрального оператора (1.3). Если ¸

– характеристическое число, то его кратность конечна и ¸ являет• ся характеристическим числом сопряженного оператора A¤ к опера• тору (1.3) той же кратности. Для разрешимости уравнения (1.5) необходимо и достаточно, чтобы функция y(t) была ортогональна всем собственным функциям оператора A¤; соответствующим соб• ственному значению 1=¸: При этом у уравнения (1.5) существует единственное решение, ортогональное всем собственным функциям оператора A; отвечающим собственному значению 1=¸:

Пусть H – гильбертово пространство, A : H ! H – самосопряжен• ный оператор.

Теорема 4 . Все собственные значения самосопряженного опера• тора в гильбертовом пространстве вещественны. Собственные под• пространства H¸1 и H¸2; отвечающие различным собственным зна• чениям ¸1 и ¸2; ортогональны.

Теорема 5 . Компактный самосопряженный оператор в гиль• бертовом пространстве имеет по крайней мере одно собственное зна• чение.

Следствие 2. Если компактный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве H не имеет отличных от нуля собственных значений, то A = 0:

Теорема 6 . Все собственные значения компактного самосопря• женного оператора A : H ! H расположены на отрезке [m;M], где

m = inf (Ax;x); M = sup (Ax;x):

(1.6)

kxk=1

П р и м е р 3. Вернемся к вычислению нормы оператора

Ax(t) = x(s) ds:

Для этого представим оператор A как композицию двух операторов V S, где V y(t) = y(1 ¡ t), Sx(t) = 1R¡tx(s) ds: Заметим, что оператор V

является унитарным оператором. Действительно, оператор V является оператором замены переменных, поэтому


(V x;y) = Z0 1		Ax(t)y(t) dt = Z0 1	x(1 ¡ t)y(t) dt =
= [1 ¡ t = s] = ¡ Z1 0	x(s)y(1 ¡ s) ds = Z0 1			x(t)y(1 ¡ t) dt = (x;V ¤y);

откуда V ¤y(t) = y(1 ¡ t): S – самосопряженный оператор, поскольку

1	1¡t			1	1¡s
(Sx;y) = Z0	µZ0	x(s) ds¶y(t) dt =	Z0	x(s)	Z0	y(t) dt = (x;S¤y);
откуда S¤y(t) =	1¡t	y(s) ds.

Кроме того, S – компактный оператор. Поэтому kAk = kSk:

Вычисление нормы оператора S сводится к задаче вычисления мак• симального по модулю собственного значения оператора S. Следова• тельно, ищем ¸ 2 R, для которых интегральное уравнение

Z1¡t

Sx = ¸x или x(s) ds = ¸x(t):

Это уравнение эквивалентно уравнению

¸x0(t) + x(1 ¡ t) = 0

решения которого удовлетворяют условию x(1) = 0.

Эти решения заведомо являются решениями краевой задачи Штур•

ма – Лиувилля

¸2x00(t) + x(t) = 0; x(1) = 0; x0(0) = 0:

Решая ее, находим ¸k = ¡¼2 +k¼¢¡1; k = 1;2; : : : .¸ = ¼2 – максималь• ное по модулю собственное значение. Следовательно, kAk = kSk = ¼2 .

Подпространство L ½ H назовем инвариантным подпростран• ством оператора A, если для любого x 2 L имеем Ax 2 L.

Обозначим через Hn подпространство пространства H, состоящее из элементов x 2 H, ортогональных первым n собственным векторам оператора A, (x;xi) = 0; i = 1;2; : : : ;n. Для любого x 2 Hn вектор Ax 2 Hn; т. е. (Ax;xi) = (x;Axi) = ¸i(x;xi) = 0. Это означает, что оператор A можно рассматривать как оператор A : Hn ! Hn. При этом он, естественно, является самосопряженным и компактным. Поэтому, по теореме 4,

j¸n+1j = sup j(Ax;x)j

kxk=1 x2Hn

и так далее.

Теорема 7. Пусть A – компактный самосопряженный оператор из H в H; а x произвольный элемент из H: Тогда элемент Ax 2 H разлагается в сходящийся ряд Фурье по системе f'kg1k=1 собственных векторов оператора A:

Следствие 3. Если компактный самосопряженный оператор в H имеет обратный, то система его собственных векторов образует базис в H:

Следствие 4. Если A компактный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве H; то в H существует ортонормированный базис из собственных векторов оператора A:

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

П р и м е р 4. Решить уравнение

x(t) ¡ ¸ K(t;s)x(s) ds = t

	0
с симметричным ядром
K(t;s) =	t(s 1); 0 6 t 6 s;
K(t;s) =	(s(t	¡	1); s 6 t 6 1:
		¡

Р е ш е н и е. Найдем характеристические значения и собственные функ• ции этого ядра. Исходя из определения, нужно найти те значения ¸n;

при которых уравнение x(t) ¡ ¸ R1 K(t;s)x(s) ds = 0 имеет нетривиаль•

ные решения xn(t); и найти функции xn(t): Для этого перейдем от ин• тегрального уравнения к соответствующему ему дифференциальному уравнению. Поскольку

Zt Z1

x(t) = ¸ s(t ¡ 1)x(s) ds + ¸ t(s ¡ 1)x(s) ds;

0 t

то после двукратного дифференцирования обеих частей по t имеем

x00(t) ¡ ¸x(t); x(0) = x(1) = 0:

Значит x(t) = C1eip¼t + C2e¡ip¼t; тогда

(

C1 + C2;

C1eip¼ + C2e¡ip¼:

Системаpимеет нетривиальное решение ¸n = ¡n2¼2; n 2 N; при этом xn(t) = 2 sin ¼nt; n 2 N: Воспользуемся теоремой Гильберта-Шмидта о разрешимости уравнений с компактным самосопряженным операто• ром. Итак, при ¸ =6 ¸n

x(t) = t ¡ ¸ X1 p2an sin ¼nt;

n=1 ¸ + n2¼2

где an – коэффициенты Фурье функции f(t) ´ t, т. е. an = Rt t sin ¼nt dt:

Значит,

x(t) = t 2¸ 1 (¡1)n+1 sin ¼nt:

¡ ¼ n=1 n(¸ + n2¼2)

При ¸n = ¡n2¼2; n 2 N; исходное уравнение решений не имеет, по• скольку его правая часть f(t) = t не ортогональна всем решениям соответствующего однородного уравнения.

П р и м е р 5. Найти		характеристические числа и собственные
функции однородного уравнения
x(t) ¡ ¸ Z0			¼ K(t;s)x(s) ds = 0;
где				0 6 t 6 s;
		cos t sin s;
K(t;s) = (sin t cos s;				s 6 t 6 ¼:
Р е ш е н и е. Уравнение представим в виде
x(t) = ¸ Z0 t	K(t;s)x(s) ds + ¸ Zt ¼ K(t;s)x(s) ds;
или
x(t) = ¸ sin t Z0 t		x(s) cos s ds + ¸ cos t Zt ¼ x(s) sin s ds			(1.7)

Дифференцируя обе части (1.7), находим

x0(t) = ¸ cos t x(s) cos s ds + ¸ sin t cos tx(t)¡

Z¼

¡¸ sin t x(s) sin s ds ¡ ¸ sin t cos tx(t);

или
x0(t) = ¸ cos t Z0 t		x(s) cos s ds ¡ ¸ sin t Zt ¼ x(s) sin s ds:			(1.8)
Повторное дифференцирование дает
x00(t) = ¡¸ sin t Z0 t			x(s) cos s ds + ¸ cos2 tx(t)¡
¡¸ cos t Zt ¼ x(s) sin s ds + ¸ sin2 tx(t) =
= ¸x(t) ¡ 2¸ sin t Zt x(s) cos s ds + ¸ cos t Z¼ x(s) sin s ds3					:
4	0		t	5

Выражение в квадратных скобках равно x(t); так что

x00(t) = ¸x(t) ¡ x(t):

Из равенств (1.7) и (1.8) находим, что

x(¼) = 0; x0(0) = 0:

Итак, интегральное уравнение сводится к следующей краевой задаче:

x00(t) ¡ (¸ ¡ 1)x(t) = 0;	(1.9)
x(¼) = 0; x0(0) = 0:

Здесь возможны три случая.

1. ¸ ¡ 1 = 0; или ¸ = 1: Уравнение (1.9) принимает вид x00(t) = 0: Его общее решение будет x(t) = C1t+C2t: Используя краевые условия,

получим для нахождения неизвестных C1 и C2 систему

(

C1¼ + C2;

C1 = 0;

которая имеет единственное решение C1 = 0; C2 = 0; а следователь• но, интегральное уравнение имеет только тривиальное решение

x(t) ´ 0:

2. ¸ ¡ 1 > 0 или ¸ > 1: Общее решение уравнения задачи (1.9) имеет

вид

x(t) = C1 cosh ( ¸ ¡ 1 t) + C2 sinh (

¸ ¡ 1 t);

откуда

x0(t) = p

³C1 sinh (p

t) + C2 cosh (p

t)´:

¸ ¡ 1

Для нахождения значений C1 и C2 краевые условия дают систему

(C1 cosh (¼p¸ ¡ 1) + C2 sinh (¼p¸ ¡ 1) = 0; C2 = 0:

Система имеет единственное решение C1 = 0; C2 = 0: Интегральное уравнение имеет только тривиальное решение

x(t) ´ 0:

3. ¸ ¡ 1 < 0 или ¸ < 1: Общее решение уравнения (1.9) будет

p	p
x(t) = C1 cos ( 1 ¡ ¸ t) + C2 sin (		1 ¡ ¸ t):
Отсюда находим, что

x0(t) = p

³¡C1 sin (p

t) + C2 cos (p

t)´

¡ ¸

1 ¡ ¸

Краевые условия (1.9) в этом случае дают для нахождения C1

систему

C1 cos (¼p

) + C2 sin (¼p

) = 0;

1 ¡ ¸

¡ ¸C2 = 0:

и C2

(1.10)

Определитель этой системы

¯ p 4(¸) = ¯¯¯cos (¼ 01 ¡ ¸)

p1 ¡ ¡¸	¯		:
sin (¼p1		¯
sin (¼p1	¸)
	¯
	¯

Полагая его равным нулю, получим уравнение для нахождения харак•

теристических чисел:			¡		p1			¯
¯	0		¡		p1		¸	¯
¯						¡		¯
¯	cos (¼p	1		¸)	sin (¼p1		¡ ¸)	¯	= 0;	(1.11)
¯								¯

или p

cos (¼p

) = 0: По определению p

6= 0; поэтому

¡ ¸

1 ¡ ¸

cos (¼ 1 ¡ ¸) = 0: Отсюда находим, что ¼

1 ¡ ¸ =

+ ¼n; где n –

любое целое число. Все корни уравнения (1.11) даются формулой

¸n = 1 ¡ µn + 2

При значении ¸ = ¸n система (1.10) принимает вид

(

C1 = 0;

C2 = 0:

Она имеет бесконечное множество ненулевых решений

(

C1	= C;
C2	= 0;
где C - произвольная постоянная. Значит, интегральное уравнение име•
ет бесконечное множество решений вида		¶t;
x(t) = C cos µn + 2
	1

которые являются собственными функциями этого уравнения.

Итак, характеристические числа и собственные функции инте• грального уравнения

¸n

= 1 ¡ µn + 2

; xn(t) = cos µn + 2

¶t;

где n – любое целое число.

П р и м е р 6. Решить уравнение

x(t) ¡ ¸ Z0 1

K(t;s)x(s) ds = et;

(1.12)

где

(t;s) = 8

sinh

t sinh(s

; 0 6 t 6 s;

sinh 1

; s

>sinh s sinh(t

sinh 1

1 / 21 2 > Следующая >>>