06_Неопределенный интеграл
.pdfГ Л А В А 6
Интегральное исчисление функции одной переменной. Неопределенный интеграл.
§6.1. Неопределенный интеграл и правила интегрирования.
6.1.1.Первообразная и неопределенный интеграл.
Основной задачей дифференциального исчисления является нахождения производной f0(x) или дифференциала df(x) = f0(x)dx функции f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F (x), что F 0(x) = f(x) или dF (x) = F 0(x)dx = f(x)dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F (x) по известной производной (дифференциалу) этой функции.
Определение 1. Функция F (x), x 2 X ½ R, называется первообразной для функции f(x) на множестве X, если она дифференцируема для любого x 2 X и F 0(x) = f(x) или dF (x) = f(x)dx.
В определении первообразной предполагается, что функция F (x) дифференцируема на числовом промежутке X, который может быть открытым, полуоткрытым и замкнутым. При этом, если некоторый конец промежутка X принадлежит промежутку X, то под производной в этой точке-конце будем понимать соответствующую одностороннюю производную.
Весьма существенным является обстоятельство, состоящее в том, что задача по нахождению первообразной разрешается неоднозначно. Если, например, f(x) = e3x, то первообразной для этой функции является не только F (x) = 13 e3x, но также и множество функций 13 e3x + C, где C - произвольно выбранная постоянная.
Теорема 1. Если F1(x) и F2(x) - две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве X, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т.е. F2(x) = F1(x) + C, где C - произвольная постоянная.
Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) - первообразные функции f(x) на X. Их разность F (x) = F2(x) ¡ F1(x) является дифференцируемой функцией F 0(x) = F20(x)¡F10(x) = f(x)¡f(x) = 0 на X. Из теоремы Лагранжа следует, что F (x) = C, т.е. F2(x) ¡ F1(x) = C для любого x 2 X.
Следствие 1. Если F (x) - некоторая первообразная функция f(x) на множестве X, то все первообразные функции f(x) определяются выражением F (x) + C, где C - произвольная постоянная.
Операция отыскания первообразной F (x) функции f(x) называется интегрированием.
Определение 2. Совокупность F (x)+C всех первообразных функции f(x) на множестве X называется неопределенным интегралом и обозначается Z
f(x)dx = F (x) + C: (1.1)
В формуле (1.1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования, а C – постоянной интегрирования.
С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет собой однопараметрическое семейство кривых y = F (x) + C (C - параметр) обладающих следующим свойствами: все касательные к кривым в точках с абсциссой
x = x0 |
параллельны между собой: |
³F (x) + C |
´0¯¯x=x0 = F 0 |
(x0) = f(x0): |
|
|
|||
|
|
|
¯ |
|
Кривые семейства fF (x)+Cg называются интегральными кривыми. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Oy.
2 |
Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной. |
Неопределенный интеграл. |
6.1.2.Основные свойства неопределенного интеграла.
10. Пусть функция f(x) имеет первообразную на числовом промежутке X. Тогда
|
R |
µZ f(x)dx¶0 |
= f(x); 8x 2 X: |
|||||
Доказательство. Поскольку |
f(x)dx = F (x) + C; |
8 |
x |
2 |
X, где F (x) есть первообразная функция f(x) на числовом |
|||
промежутке X, то |
µZ f(x)dx¶0 |
|
|
|
|
|||
|
|
= ³F (x) + C´0 |
= F 0(x) = f(x): |
|||||
20. Пусть функция F (x) дифференцируемая на числовом промежутке X. Тогда |
||||||||
|
|
Z dF (x) = F (x) + C и |
Z F 0(x)dx = F (x) + C; 8x 2 X: |
Эти соотношения непосредственно следуют из определения неопределенного интеграла как совокупности всех дифференцируемых функций, дифференциал который стоит под знаком интеграла.
30. Пусть функция f(x) интегрируема на числовом промежутке X, k - некоторое ненулевое действительное число. Тогда функция kf(x) имеет первообразную на числовом промежутке X и
ZZ
kf(x)dx = k f(x)dx; k =6 0; 8x 2 X:
Доказательство. Действительно, пусть F (x) первообразная функции f(x), т.е. F 0(x) = f(x). Тогда kF (x) – первооб- |
||||
разная функции kf(x), так как, |
³kF (x)´0 |
= kF 0(x) = kf(x). Отсюда следует, что |
||
|
k Z |
f(x)dx = k³F (x) + C´ = kF (x) + C1 = Z |
kf(x)dx; |
где C1 = kC. 40. Пусть функции f(x) и g(x) имеют первообразную на числовом промежутке X. Тогда функция (f § g)(x) имеет
первообразную на X и |
Z ³f(x) § g(x)´dx = |
Z |
f(x)dx § Z |
|
|
g(x)dx; 8x 2 X: |
Доказательство. Пусть F (x) и ©(x) первообразные функций f(x) и g(x), т.е. F 0(x) = f(x), ©0(x) = g(x). Тогда функции
F (x) § ©(x) являются первообразными функций f(x) § g(x). Следовательно |
´ ³ |
´ |
|||
Z f(x)dx § Z |
³ |
´ ³ |
´ ³ |
||
g(x)dx = F (x) + C1 § ©(x) + C2 = F (x) § ©(x) + C1 § C2 = |
³ ´ Z ³ ´
= F (x) § ©(x) + C = f(x) § g(x) dx:
Из свойств 30 и 40 вытекает свойство линейности неопределенного интеграла.
50. Пусть f(x) и g(x) функции, имеющие первообразные на числовом промежутке X, действительные числа ¸1 и ¸2
одновременно не обращаются в нуль. Тогда функция ¸1f(x) + ¸2g(x) имеет первообразную на X и |
|||||
Z |
³ |
¸1f(x) + ¸2g(x) dx = ¸1 |
Z |
Z |
g(x)dx: |
|
´ |
|
|
|
60 [инвариантность формул интегрирования]. Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если пере-
менную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной
Z Z
f(x)dx = F (x) + C ) f(u)du = F (u) + C;
где u - дифференцируемая функция.
Доказательство. Воспользуемся свойством инвариантности формы дифференциала первого порядка: если dF (x) = F 0(x)dx то dF (u) = F 0(u)du, где u = u(x). Пусть f(x)dx = F (x) + C, тогда F 0(x) = f(x). Докажем, что f(u)du =
F (u) + C |
. Для этого найдем дифференциалы от |
левой и правой частей последнего равенства |
||
|
R |
= F 0 |
R |
|
|
d µZ f(u)du¶ = f(u)du и d F (u) + C |
(u)du = f(u)du: |
||
|
|
³ |
´ |
|
Из равенств этих дифференциалов следует справедливость свойства 60.
6.2. Основные методы интегрирования. |
3 |
6.1.3. Табличные интегралы.
Если на некотором числовом промежутке F 0(x) = f(x), то в соответствии с определением на этом числовом промежутке R f(x)dx = F (x) + C. Используя эту закономерность, составим таблицу основных неопределенных интегралов по
таблице производных элементарных функций.
Z
1.0 dx = C; 8x 2 R.
Z Z
2. |
|
|
1 dx = dx = x + C; 8x 2 R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. Z |
|
|
|
|
|
|
x¸+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x¸dx = |
|
|
|
|
|
|
+ C; ¸ 6= ¡1; 8x 2 D(x¸). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
¸ + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Z |
|
dx |
= ln jxj + C; 8x 6= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5. |
|
|
|
|
= |
|
arctg |
|
|
|
+ C = ¡ |
|
|
arcctg |
|
|
+ C1 |
; 8x 2 R. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
a2 + x2 |
a |
a |
a |
|
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Z |
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
¯ |
x + a |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
+ C; 8 jxj 6= jaj. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a2 |
|
x2 |
2a |
x |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
¡dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln x¯ + a¯ |
2 |
+ x2 |
|
|
|
+ C; x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
pa2 + x2 |
³ |
¯ |
|
xp |
¯ |
|
|
|
´ |
|
8 2 R. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
|
p |
|
|
= arcsin |
|
+ C = ¡ arccos |
|
+ C1 |
; 8x 2 (¡a; a). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 ¡ x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. Z |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
= ln x + x2 |
|
a2 |
´ |
+ C; x ( |
|
; |
|
a) |
|
(a; + |
) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
px2 ¡ a2 |
|
ax ³ |
|
|
|
|
p |
|
|
¡ |
|
8 2 ¡1 |
¡ |
|
[ |
|
1 . |
||||||||||||||||||||||||
10. |
Z |
|
ax dx = |
|
+ C; a > 0; a 6= 1; 8x 2 R. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
ln a |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
Z |
|
sin xdx = ¡ cos x + C; 8x 2 R. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z
12.cos xdx = sin x + C; 8x 2 R.
13. |
Z |
dx |
= ¡ ctg x + C = Z |
cosec2 xdx; 8x 6= ¼k; k 2 Z. |
|||||
|
|
|
|||||||
sin2 x |
|||||||||
14. |
Z |
dx |
= tg x + C = Z |
sec2 xdx; 8x 6= |
¼ |
+ ¼k; k 2 Z. |
|||
|
|
|
|||||||
cos2 x |
2 |
||||||||
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
15.sh xdx = ch x + C; 8x 2 R.
Z
16.ch xdx = sh x + C; 8x 2 R.
17. |
Z |
dx |
|
|
|
= ¡ cth x + C; 8x 6= 0. |
|||
sh2 x |
||||
18. |
Z |
dx |
= th x + C; 8x 2 R. |
|
|
||||
ch2 x |
Отметим, что все указанные формулы справедливы на тех числовых промежутках, на которых они справедливы. Если первообразная F (x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл R f(x)dx вы-
ражается в элементарных функциях или функция f(x) интегрируема в конечном виде. Однако не всякий интеграл от элементарной функции выражается в элементарных функциях.
В отличие от дифференциального исчисления, где, пользуясь таблицей производных, можно найти производную или дифференциал любой заданной функции, в интегральном исчислении нет общих приемов вычисления неопределенных интегралов, а разработаны лишь частные методы, позволяющие свести интеграл к табличному.
§6.2. Основные методы интегрирования.
6.2.1.Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование основано на свойстве линейности неопределенного интеграла. При этом к табличным интегралам приходим путем элементарных преобразований подынтегральной функции.
Пример 1. Найти R (x+3)2 dx.
x(x2+9)
Решение.
Z |
+ 3)2 |
dx = Z |
(x2 + 9) + 6x |
dx = Z |
dx |
+ 6 Z |
dx |
|
x |
|
||
(x |
|
|
|
|
= ln jxj + 2 arctg |
|
|
+ C; 8x 6= 0: |
||||
x(x2 + 9) |
x(x2 + 9) |
x |
x2 + 32 |
3 |
4 |
Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенный интеграл. |
|||||||||||||||
Пример 2. Найти R |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ex(3¢22x¡2¢3 |
|
) |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Решение. |
Z |
|
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
Z |
|
Z µ |
¶ |
|
¡ |
3e |
¢ |
x |
|
||||
|
|
|
e |
(3 ¢ 2 |
¡ 2 ¢ 3 |
)dx = 3 exdx 2 |
|
3e |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx = 3ex |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
+ C: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
3e |
¢ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
¡ |
2 |
|
¡ |
¢ ln |
2 |
|
|
6.2.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной).
Теорема 2. Пусть определенные соответственно на числовых промежутках Jx и Jt функции f : Jx ! R и ' : Jt ! R обладают следующими свойствами:
1)значение '(t) 2 Jx; 8t 2 Jt;
2)на числовом промежутке Jx функция f(x) имеет первообразную F : Jx ! R, то есть
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
f(x)dx = F (x) + C; 8x 2 Jx; |
(2.2) |
||||||
3) функция ' дифференцируема на Jt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Тогда на числовом промежутке J |
|
сложная функция F |
'(t) , |
|
t |
|
J является первообразной функции f |
'(t) |
|||||||||
'0(t), |
8 |
t |
2 |
Jt и |
Z |
f |
'(t) |
t |
¢ '0(t)dt = Z |
³ |
´ |
8 |
|
2 |
t |
³ ´ ¢ |
|
|
|
|
|
f(x)dx = F '(t) |
´ |
+ C; 8x 2 Jx; 8t 2 Jt: |
(2.3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
³ |
´ |
|
|
|
³ |
|
|
|
|
Доказательство. То, что при любом t 2 Jt значение '(t) 2 Jx, позволяет говорить о существовании сложных функций |
|||||||||||||||||||||||||||||
³ |
´ |
³ |
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
'(t) |
и F '(t) |
на Jt. Из соотношения (2.2) следует, что F 0(x) = f(x), 8x 2 Jx. Тогда по правилу дифференцирования |
||||||||||||||||||||||||||
сложной функции |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
d' |
¢ |
dt |
|
|
|
³ |
´ ¢ |
8 2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dF ³'(t)´ |
= |
dF ³'(t)´ |
d'(t) |
= f '(t) |
'0(t); t |
Jt: |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Это означает, что на J функция f |
|
'(t) |
|
|
'0(t) имеет первообразную F |
'(t) . Отсюда, согласно определению неопре- |
|||||||||||||||||||||||
деленного интеграла, следует,t |
что |
³ |
´ ¢ |
|
|
|
´ |
|
|
|
³ |
´ |
³ |
´ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
³ |
|
|
|
|
|
+ C; 8t 2 Jt: |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
'(t) ¢ '0(t)dt = F |
|
'(t) |
(2.4) |
|||||||||||||
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
F '(t) |
+ C = F (x) + C = Z |
|
|
f(x)dx; 8x 2 Jx; 8t 2 Jt; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то из соотношения (2.4) получаем формулу (2.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 3. Найти R |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ex¡1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2t |
|
|||||||||
|
Решение. Сделаем подстановку e |
|
¡ 1 = t . Тогда x = ln(t |
|
|
+ 1) и dx = |
|
dt. Подставляя |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t2+1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
pex |
¡ 1 |
= |
|
Z |
t2 + 1 = 2 arctg t + C = 2 arctg pex ¡ 1 + C: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При интегрировании заменой переменной важно удачно сделать подстановку. Однако нельзя дать общее правило |
||||||||||||||||||||||||||||
выбора замены переменной для интегрирования любой функции. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Очень часто при вычислении интегралов пользуются приемом ”подведения” подынтегральной функции под знак |
дифференциала. По определению дифференциала функции '0(x)dx = d'(x). Переход от левой части этого равенства к |
||||||||||
правой называют ”подведением” множителя '0(x) под знак дифференциала. |
||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
'(x) ¢ '0(x)dx. Внесем в этом интеграле множитель '0(x) под знак диф- |
|||
Пусть требуется найти интеграл вида |
f |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
'(x) = u |
: |
|
|
|
ференциала, а затем выполним подстановку ³ |
´ |
f |
'(x) d'(x) = Z f(u)du: |
|||||||
|
|
|
Z |
f '(x) |
´ |
¢ '0(x)dx = Z |
||||
|
|
|
|
³ |
|
|
|
³ |
´ |
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если интеграл R f(u) 2 |
табличный, его вычисляют непосредственным интегрированием. |
|||||||||
Пример 4. Найти R xp |
x |
+ 1 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
6.2. Основные методы интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
||||||||||||||||||
Решение. Учитывая, что xdx = 21 d(1 + x2), и положив 1 + x2 = u имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
u3=2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = |
(1 + x2)3 |
+ C: |
||||||||||||||||||
|
|
Z x x2 + 1dx = 2 Z |
(1 + x2)1=2d(1 + x2) = 2 Z u1=2du = 2 ¢ |
3=2 |
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||
Пример 5. Найти R |
|
|
sin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
p |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1+5 cos x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Решение. Заметив, что sin xdx = ¡5 d(1 + 5 cos x), и положив 1 + 5 cos x = u имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
sin xdx |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
Z |
p |
|
|
= ¡ |
|
Z (1 + 5 cos x)¡1=2d(1 + 5 cos x) = ¡ |
|
Z |
u¡1=2du = ¡ |
|
u1=2 + C = ¡ |
|
p1 + 5 cos x + C: |
|||||||||||||||||||
|
5 |
5 |
5 |
5 |
||||||||||||||||||||||||||||
1 + 5 cos x |
|
6.2.3. Интегрирование по частям.
Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке X и на этом промежутке существует интеграл R vdu, то на нем существует и интеграл R udv, причем
ZZ
udv = uv ¡ vdu: |
(2.5) |
Доказательство. Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на промежутке X. Тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство
d(uv) = vdu + udv
и поэтому
udv = d(uv) ¡ vdu:
Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как, согласно свойству 20
Z
d(uv) = uv + C;
а интеграл R vdu существует по условию. Поэтому на основании свойства 40 существует и интеграл R udv, причем
Z Z Z Z Z
udv = d(uv) ¡ vdu , udv = uv ¡ vdu:
Соотношение (2.5) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла R udv можно свести к вычислению другого интеграла R vdu. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (2.5) более прост для вычисления, чем исходный.
Пример 6. Найти R x sin x dx.
Решение. R
1а) Положим u = x, dv = sin x dx = ¡d cos x. Тогда du = dx, v = ¡ d cos x = ¡ cos x. Имеем
|
|
|
|
|
|
Z |
x sin x dx = ¡x cos x + Z |
cos x dx = ¡x cos x + sin x + C: |
|||||||||||||||
1б) |
|
x sin x dx = |
xd( |
¡ |
cos x) = x( |
cos x) |
¡ |
( |
¡ |
cos x)dx = |
¡ |
x cos x + |
cos x dx = |
¡ |
x cos x + sin x + C: |
||||||||
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||
2) |
Если в данном интеграле положить u = sin x, dv = xdx, то du = cos xdx, v = |
|
и |
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
R |
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z x sin x dx = |
x2 |
sin x ¡ |
1 |
Z |
x2 cos xdx; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
т.е. в правой части получится более сложный интеграл, чем в левой. Значит такое разбиение подынтегрального выражения является неудачным.
|
|
Некоторые часто встречающиеся типы интегралов, вычисляемые методом интегрирования по частям. |
|||||||||||
|
|
1. Интегралы вида |
Pn(x)ekxdx, |
|
Pn(x) sin kx dx, |
Pn(x) cos kx dx, |
Pn(x) sh kx dx, |
Pn(x) ch kx dx, где Pn(x) – |
|||||
многочлен степени |
n |
, |
k |
|
число. |
R |
R |
R |
|||||
|
R- некоторое |
|
R |
|
|||||||||
|
|
Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить u = Pn(x) и применить формулу (2.5) n раз. |
|||||||||||
|
|
2. Интегралы вида |
Pn(x) ln(x) dx, |
Pn(x) arcsin x dx, Pn(x) arccos x dx, Pn(x) arctg x dx, Pn(x) arcctg x dx, где |
|||||||||
P |
n |
(x) |
– многочлен |
степени n относительно x. |
R |
R |
R |
||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
|||||
|
|
Их можно найти по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при Pn(x). |
|||||||||||
|
|
3. Интегралы вида |
|
eax cos(bx) dx, |
|
eax sin(bx) dx, где a, b - числа. |
|
|
|||||
|
|
Они вычисляются |
двукратным интегрированием по частям. |
|
|
||||||||
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
6 |
Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной. |
Неопределенный интеграл. |
Пример 7. Найти R arcsin x dx.
Решение. |
Z |
arcsin x dx = x arcsin x ¡ Z |
xd(arcsin x) = x arcsin x ¡ Z |
|
|
xdx |
|
|||
|
|
p |
= |
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 ¡ x2 |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= x arcsin x + |
Z (1 ¡ x2)¡1=2 d(1 ¡ x2) = x arcsin x + p1 ¡ x2 + C: |
||||||||
|
|
|||||||||
|
2 |
§6.3. Интегрирование рациональных функций.
6.3.1.Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших рациональных дробей.
Рассмотрим функцию f(x) = QP ((xx)) , где P (x), Q(x) - многочлены с действительными коэффициентами.
Рациональная дробь P (x) называется правильной, если либо P (x) - нулевой многочлен, либо его степень меньше
Q(x)
степени многочлена Q(x), и неправильной, если степень многочлена P (x) не меньше степени многочлена Q(x).
Если рациональная дробь QP ((xx)) неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, получим равенство
P (x) = R(x) + P1(x) ; Q(x) Q1(x)
где R(x), P1(x), Q1(x) - некоторые многочлены, а P1(x) - правильная рациональная дробь.
Q1(x)
Лемма 1. Пусть P (x) - правильная рациональная дробь. Если число a является действительным корнем кратности
Q(x)
® > 1 многочлена Q(x), т.е.
Q(x) = (x ¡ a)®Q1(x) и Q1(a) =6 0;
то существуют действительное число A и многочлен P1(x) с действительными коэффициентами такие, что
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
= |
|
|
A |
|
|
+ |
|
|
P1(x) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
(x ¡ a)® |
(x ¡ a)®¡1Q1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
P1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где дробь |
|
|
также является правильной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(x a)®¡1Q1(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Каково бы ни было действительное число A, вычитая из дроби |
P (x) |
= |
P (x) |
|
выражение |
A |
||||||||||||||||||||||||
Q(x) |
(x¡a)®Q1(x) |
(x¡a)® |
|
|||||||||||||||||||||||||||
и затем прибавляя его, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
P (x) |
= |
A |
+ |
|
P (x) |
|
|
¡ |
|
|
|
A |
|
= |
A |
|
+ |
P (x) ¡ AQ1(x) |
: |
|
(3.6) |
|||||||
|
|
|
(x ¡ a)® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ¡ a)® |
(x ¡ a)®Q1(x) |
|
|||||||||||||
|
Q(x) |
µ(x ¡ a)®Q1(x) |
(x ¡ a)® ¶ |
|
|
|
По условию, степень многочлена P (x) меньше степени многочлена Q(x) = (x ¡ a)®Q1(x). Очевидно, что степень многочлена Q1(x) меньше степени многочлена Q(x) (так как ® > 1), поэтому при любом выборе числа A рациональная дробь
A |
+ |
P (x) ¡ AQ1(x) |
|
(x ¡ a)® |
(x ¡ a)®Q1(x) |
||
|
является правильной.
Выберем теперь число A таким образом, чтобы число a было корнем многочлена P (x) ¡ AQ1(x) и, следовательно, чтобы этот многочлен делился на x ¡ a. Иначе говоря, определим A из условия P (a) ¡ AQ1(a) = 0. Отсюда имеем
A = P (a) , т.к. Q1(a) =6 0. При таком выборе A второе слагаемое правой части в формуле (3.6) можно сократить на
Q1(a)
x ¡ a, в результате получим дробь вида
P1(x) :
(x ¡ a)®¡1Q1(x)
Эта дробь получена сокращением правильной рациональной дроби с действительными коэффициентами на множитель x ¡ a, где a действительно, поэтому и сама она является также правильной рациональной дробью с действительными коэффициентами.
6.3. Интегрирование рациональных функций. |
7 |
||
Лемма 2. Пусть |
P (x) |
- правильная рациональная дробь. Если |
|
|
Q(x) |
|
|
³ ´
Q(x) = (x2 + px + q)¯Q1(x); p2 ¡ 4q < 0; НОД x2 + px + q; Q1(x) = const;
то существуют действительные числа M, N и многочлен P1(x) с действительными коэффициентами такие, что
|
|
|
P (x) |
= |
Mx + N |
+ |
|
P1(x) |
; |
|
|
|
|
(x2 + px + q)¯ |
(x2 + px + q)¯¡1Q1(x) |
||||
|
|
Q(x) |
|
|
|||||
где дробь |
P1(x) |
также является правильной. |
|
|
|
|
|||
(x2+px+q)¯¡1Q1(x) |
|
|
|
|
|||||
Теорема 4. Пусть P (x) - правильная рациональная дробь, P (x), Q(x) - многочлены с действительными коэффициен- |
Q(x)
тами. Если
Q(x) = (x ¡ a1)®1 ¢ : : : ¢ (x ¡ ar)®r (x2 + p1x + q1)¯1 ¢ : : : ¢ (x2 + psx + qs)¯s ;
где ai - попарно различные действительные корни многочлена Q(x) кратности ®i, i = 1; r, p2j ¡ 4qj < 0, j = 1; s, то существуют действительные числа A(i®), i = 1; r, ® = 1; ®i, Mj(¯), Nj(¯), j = 1; s, ¯ = 1; ¯j, такие, что
|
|
|
|
|
P (x) |
|
|
|
A1(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1(®1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ar(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ar(2) |
Ar(®r) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ : : : + |
|
|
|
|
|
+ : : : + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ : : : + |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Q(x) |
(x ¡ a1)®1 |
(x ¡ a1)®1¡1 |
x ¡ a1 |
(x ¡ ar)®r |
|
(x ¡ ar)®r¡1 |
x ¡ ar |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(1)x + N |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(2)x + N(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
(¯1)x + N |
(¯1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ : : : + |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
+ : : : + |
(3.7) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + p1x + q1)¯1 |
|
|
|
(x2 + p1x + q1)¯1¡1 |
|
|
|
x2 + p1x + q1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
Ms(1)x + Ns(1) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
Ms(2)x + Ns(2) |
|
|
|
|
+ : : : + |
Ms(¯s)x + Ns(¯s) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + psx + qs)¯s |
|
|
|
|
(x2 + psx + qs)¯s¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + psx + qs |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Рациональные дроби вида |
|
|
|
A |
|
, A 6= 0, и |
|
|
|
|
|
|
Mx+N |
, M |
2 |
+ N |
2 |
6= 0, где a, p, q, A, M и N - действительные числа и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
(x¡a)® |
|
|
|
(x2+px+q)¯ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
p |
¡q < 0 (корни квадратного трехчлена x2 +px+q комплексные), называются элементарными рациональными дробями. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Таким образом, теорема утверждает, что всякая ненулевая правильная рациональная дробь может быть разложена |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на сумму элементарных рациональных дробей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Например: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bx + C |
|
|
|
|
|
|
|
Dx + E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1. |
|
|
x2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
A |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x3 ¡ 8)(x2 + 1) |
(x ¡ 2)(x2 + 2x + 4)(x2 + 1) |
|
x ¡ 2 |
|
|
x2 + 2x + 4 |
|
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2. |
|
2x ¡ 3 |
|
|
= |
|
|
|
A |
|
+ |
|
|
B |
|
|
+ |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
D |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
(x + 1)(x ¡ 1)3 |
x + 1 |
|
x ¡ 1 |
(x ¡ 1)2 |
(x ¡ 1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + x + 13 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
Bx + C Dx + F E M |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(x ¡ 1)(x2 + 4)2x3 |
x ¡ 1 |
|
x2 + 4 |
(x2 + 4)2 |
x |
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Чтобы найти коэффициенты разложения, чаще всего применяют метод неопределенных коэффициентов и метод |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частных значений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 1. Разложить рациональную дробь |
|
|
|
x2 |
|
на простейшие дроби. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ¡8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Решение. Так как x3 ¡ 8 = (x ¡ 2)(x2 + 2x + 4) то имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
A |
|
+ |
|
|
Bx + C |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ¡ 8 |
|
(x2 + 2x + 4)(x ¡ 2) |
|
x ¡ 2 |
x2 + 2x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
где числа A; B; C пока неизвестны. Правую часть этого разложения приведём к общему знаменателю, тогда |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
= |
A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x ¡ 2) |
= |
(A + B)x2 + (2A + C ¡ 2B)x + 4A ¡ 2C |
: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 ¡ 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ¡ 2)(x2 + 2x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 + 2x + 4)(x ¡ 2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = (A + B)x2 + (2A + C ¡ 2B)x + 4A ¡ 2C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений для нахождения неопреде- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ленных коэффициентов A, B и C: |
|
: 0 = 2A + C ¡ 2B; 9 |
|
|
|
|
|
A = 3; B = 3; C = 3: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
: 1 = A + B; |
|
|
|
|
|
|
|
= ) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 : 0 = 4A 2C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x + 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ¡ 8 |
3(x ¡ 2) |
3(x2 + 2x + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
Глава 6. |
Интегральное исчисление функции одной переменной. |
Неопределенный интеграл. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. Разложить рациональную дробь |
|
4x |
2+16x 8 |
на простейшие дроби. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
¡ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
¡4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x2 + 16x ¡ 8 |
= |
|
4x2 + 16x ¡ 8 |
= |
|
A |
+ |
|
|
B |
+ |
|
|
|
C |
|
|
= |
A(x ¡ 2)(x + 2) + Bx(x ¡ 2) + Cx(x + 2) |
; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x + 2 |
x ¡ 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
т.е. |
|
x3 ¡ 4x |
|
x(x + 2)(x ¡ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x + 2)(x ¡ 2) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x2 + 16x ¡ 8 = A(x + 2)(x ¡ 2) + Bx(x ¡ 2) + Cx(x + 2): |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Придавая x последовательно частные значения, равные корням x = 0, x = ¡2, x = 2 находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = ¡2 : ¡¡24 = 8B; 9 |
|
|
|
|
A = 2; B = 3; C = 5: |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = 0 : |
8 = ¡4A; |
= ) |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x = 2 : 40 = 8C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
4x2 + 16x ¡ 8 |
; |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
: |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
¡ x + 2 |
x ¡ 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 ¡ 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Особенно выгодно применять второй метод в случае, когда корни знаменателя просты и действительны. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.3.2. Интегрирование простейших рациональных дробей. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Из теоремы 4 следует, что для интегрирования правильной рациональной дроби необходимо уметь интегрировать |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
простейшие рациональные дроби вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1: |
|
A |
|
; 2: |
A |
; n > 2; 3: |
|
|
Mx + N |
; 4: |
|
|
|
Mx + N |
; n > 2; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x ¡ a |
(x ¡ a)n |
x2 + px + q |
(x2 + px + q)n |
где A; a; p; q; M; N - действительные числа, а квадратный трёхчлен не имеет действительных корней, т.е. p2 ¡ 4q < 0.
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. Z |
|
Adx |
|
|
= A |
Z |
|
dx |
|
|
|
= A |
Z |
|
d(x ¡ a) |
|
|
= A ln |
x |
¡ |
a |
+ C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x ¡ a |
x ¡ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x ¡ a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2. Z |
|
|
Adx |
= A |
Z |
(x |
¡ |
a)¡ndx = A |
Z |
(x |
¡ |
a)¡nd(x |
¡ |
a) = A |
¢ |
|
(x ¡ a)¡n+1 |
+ C = |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x ¡ a)n |
|
|
|
¡n + 1 |
(1 ¡ n)(x ¡ a)n¡1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. Z |
|
Mx + N |
|
|
dx = Z |
|
|
M2 (2x + p) + N ¡ Mp2 |
|
|
|
|
|
|
M |
Z |
|
|
(2x + p)dx |
µN ¡ |
Mp |
¶Z |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 + px + q |
|
|
|
|
|
x2 + px + q |
|
|
|
|
dx = |
|
2 |
|
|
|
x2 + px + q |
+ |
|
2 |
(x + p2 )2 + q ¡ |
p2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
M d(x2 + px + q) |
+ |
|
|
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(x + p ) |
|
|
|
|
|
= |
M |
ln(x2 + px + q) + |
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
2x + p |
+ C: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
Z |
|
|
|
x + px + q |
|
|
|
µ |
|
¡ 2 |
¶Z (x + 2 )2 + q |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ |
|
|
¡ 2 |
|
¶ |
|
|
|
q |
¡ |
p2 |
|
|
|
|
|
|
4q |
¡ |
p2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
p2 |
p |
2 |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Сделаем замену переменной, положив x + |
2 |
= t, откуда dx = dt и x |
+ px + q = (x + |
2 |
) |
|
|
+ q |
¡ 4 |
|
= t |
|
+ a |
, где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 = q ¡ |
p2 |
: Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
(Mx + N)dx |
|
|
|
|
|
|
|
M(x + p2 ) + N ¡ Mp2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
+ µN ¡ |
Mp |
¶Z |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
= MI0 + µN ¡ |
Mp |
¶In: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z |
|
|
= Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = M Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x2 + px + q)n |
|
|
((x + p2 )2 + q ¡ p42 )n |
|
(t2 + a2)n |
2 |
|
|
(t2 + a2)n |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Но |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 = Z |
|
|
tdt |
|
|
|
= |
1 |
|
Z (t2 + a2)¡nd(t2 |
+ a2) = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t2 + a2)n |
2 |
2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
(t2 + a2) ¡ t2 |
dt = |
|
1 |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2dt |
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
Z |
(t2 + a2)n |
|
|
a2 Z |
|
|
|
|
|
a2 µZ |
(t2 + a2)n¡1 |
|
¡ Z |
(t2 + a2)n |
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Замечая, что R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t2 + a2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
= In¡1, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(t2+a2)n¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
µIn¡1 ¡ Z |
|
|
|
2dt |
|
|
¶: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In = |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
(t2 + a2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3. Интегрирование рациональных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||||||||||||||||||||
Для вычисления интеграла R |
|
|
|
2dt |
|
|
воспользуемся методом интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(t2+a2)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
t2dt |
= Z t ¢ |
|
|
|
|
tdt |
= Z t ¢ d |
µ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
¶ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(t2 + a2)n |
|
|
(t2 + a2)n |
|
2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
In¡1 |
: |
|
|||||||||||||||||||||||
|
2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1 |
2(1 ¡ n) |
(t2 + a2)n¡1 |
2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1 |
2(1 ¡ n) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Подставляя найденные выражения в формулу (3.8), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I = |
|
1 |
|
|
2n ¡ 3 |
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.9) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ 2(1 ¡ n)(t2 + a2)n¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
a2 µ2n ¡ 2 n¡1 |
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формула (3.9) называется рекуррентной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Например, зная табличный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = Z |
|
|
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
arctg |
|
+ C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 + a2 |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
по формуле (3.9) можно найти интеграл I2 = R |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и т.д. Действительно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(t2+a2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
I2 = Z |
|
|
|
|
|
= |
|
µ |
|
Z |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
¶ = |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
arctg |
|
|
|
+ C: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(t2 + a2)2 |
a2 |
|
2 |
t2 + a2 |
2(t2 + a2) |
2a2(t2 + a2) |
2a3 |
a |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 3. |
|
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2dx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(2x + 2)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
= Z |
|
|
|
|
= |
|
Z |
|
|
+ |
|
|
Z |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x3 ¡ 8 |
(x ¡ 2)(x2 + 2x + 4) |
3 |
x ¡ 2 |
3 |
x2 + 2x + 4 |
|
C(x3 ¡ 8): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 3 ln jx ¡ 2j + 3 |
Z |
|
d(x2 + 2x + 4 |
|
|
= 3 ln jx ¡ 2j + 3 ln(x2 + 2x + 4) + 3 ln C = ln |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 + 2x + 4) 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
Замечание 1. При вычислении интегралов не всегда нужно прибегать к готовой схеме. В частности, в примере 3,
достаточно заметить, что x2dx = 31 d(x3 ¡ 8), тогда |
3 ln jx3 ¡ 8j + |
3 ln C = ln 3 |
|
¡ 8): |
||||||||||
Z |
x3 |
¡ |
8 = |
3 |
Z d(x3 |
¡8 = |
C(x3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
x2dx |
1 |
|
x3 |
8) |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
6.3.3.Метод Остроградского.
Лемма 3. Неопределенный интеграл R
Z
P (x) dx от правильной рациональной дроби |
P (x) |
есть сумма |
|||||||
Q(x) |
|
|
|
|
|
Q(x) |
|
||
|
P (x) |
P ¤(x) |
+ Z |
P ¤¤(x) |
|
|
|||
|
|
dx = |
|
|
|
dx; 8 x 2 X; |
|
(3.10) |
|
|
Q(x) |
Q¤(x) |
Q¤¤(x) |
|
где правильная рациональная дробь P (x) |
имеет вид (3.7), |
P ¤(x) |
– правильная рациональная дробь со знаменателем |
|||
|
Q(x) |
|
|
Q¤(x) |
|
|
|
|
r |
s |
|
|
|
|
|
iY |
Y |
(x2 + pix + qi)¯s¡1; 8 x 2 X; |
|
|
|
Q¤(x) = |
(x ¡ ai)®i¡1 |
|
(3.11) |
||
|
|
=1 |
i=1 |
|
|
|
P ¤¤(x) |
– правильная рациональная дробь со знаменателем |
|
|
|
||
Q¤¤(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
s |
|
|
|
|
|
iY |
Y |
|
|
|
|
Q¤¤(x) = (x ¡ ai) |
(x2 + pix + qi); 8 x 2 X: |
(3.12) |
|||
|
|
=1 |
i=1 |
|
|
Формула (3.10) называется формулой Остроградского интегрирования правильной рациональной дроби. Её справедливость следует из теоремы 4 и результатов интегрирования простейших дробей.
Изложим суть метода Остроградского в предположении, что известно разложение знаменателя Q(x) данной пра-
вильной рациональной дроби P (x) на множители
Q(x)
r |
s |
|
||
iY |
Y |
|
|
|
Q(x) = |
(x ¡ ai)®i (x2 + pix + qi)¯s ; pi2 ¡ 4qi < 0; i = |
1; s; 8 x 2 X: |
(3.13) |
|
=1 |
i=1 |
|
10 |
Глава 6. Интегральное исчисление функции одной переменной. |
Неопределенный интеграл. |
На основании разложения (3.13) по формуле (3.11) составляем полином Q¤(x). Поскольку дробь QP ¤¤((xx)) - правильная, то полином P ¤(x) задаем с помощью неопределенных коэффициентов, считая его степень меньшей степени полинома Q¤(x) на единицу, то есть
deg P ¤(x) = deg Q¤(x) ¡ 1:
На основании разложения (3.13) по формуле (3.12) составляем полином Q¤¤(x). Поскольку дробь QP ¤¤¤¤((xx)) правильная, то полином P ¤¤(x) задаем с помощью неопределенных коэффициентов, считая его степень равной
deg P ¤¤(x) = deg Q¤¤(x) ¡ 1:
Теперь записываем формулу Остроградского (3.10) с неизвестными коэффициентами у полиномов P ¤(x) и P ¤¤(x). Для получения системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов дифференцируем левую и правую
части равенства (3.10) |
= µ |
|
¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
P (x) |
P ¤(x) |
0 |
+ |
P ¤¤(x) |
; 8 x 2 X: |
(3.14) |
|||
|
Q(x) |
Q¤(x) |
|
Q¤¤(x) |
|
Приводим правую часть тождества (3.14) к общему знаменателю Q(x), а затем приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x числителя.
Пример 4. Найти R |
x+2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2+x+1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. По формуле Остроградского |
|
|
|
|
|
+ Z |
x2 + x + 1dx: |
|||
|
Z |
(x2 + x + 1)3 dx = |
3 |
|
(x2 + x + 1)2 |
|||||
|
|
x + 2 |
|
A |
|
x3 |
+ A2x2 + A1x + A0 |
|
|
Bx + C |
Дифференцированием левой и правой частей устанавливаем, что |
¶ |
+ x2 + x + 1: |
||||||||
|
|
(x2 + x + 1)3 = µ |
3 |
|
|
(x2 + x + 1)2 |
||||
|
|
x + 2 |
A |
x3 |
+ A2x2 + A1x + A0 |
|
0 |
Bx + C |
Выполнив дифференцирование рациональной функции и приведя правую часть полученного равенства и общему знаменателю, получим
x+2 = Bx5 +(¡A3 +2B+C)x4 +(A3 ¡2A2 +3B+2C)x3 +(3A3 ¡3A1 +2B+3C)x2 +(2A2 ¡A1 ¡4A0 +B+2C)x+A1 ¡2A0 +C:
Отсюда A3 = 1; A2 = 3 ; A1 |
= 2; A0 = 1 ; B = 0; C = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В итоге |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
x + 2 |
2x3 + 3x2 + 4x + 1 |
+ Z |
|
|
|
|
|
2x3 + 3x2 + 4x + 1 |
|
2p |
|
|
|
p |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
dx |
|
|
|
3 |
|
3(2x + 1) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
arctg |
|
|
: |
|||||||||
(x2 + x + 1)3 |
|
2(x2 + x + 1)2 |
x2 + x + 1 |
2(x2 + x + 1)2 |
3 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
Пример 5. |
Z |
|
(x ¡ 1)(x2 |
|
¡ 2x + 2)3 |
|
|
(x2 ¡ 2x + 2)2 |
|
Z |
µx ¡ 1 |
|
|
|
¡ 2x + 2 |
¶ |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x4 |
¡ 2x3 + 12x2 ¡ 20x + 10 |
dx = |
A3x3 |
+ A2x2 + A1x + A0 |
+ |
|
B |
+ |
|
Cx + D |
|
= |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2(x2 ¡ 2x + 2)2 |
|
Z |
x ¡ 1 |
|
Z |
x2 ¡ 2x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
2x3 ¡ 6x2 + 8x ¡ 9 |
+ |
dx |
+ |
(¡x + 2)dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§6.4. Интегрирование некоторых тригонометрических функций.
6.4.1.Рациональные функции.
Условиями через R(u; v; w; : : :) обозначать рациональную функцию относительно u; v; w; : : : ; т.е. выражение, которое
получено из любых величин u; v; |
w; : : : ; а также действительных чисел с помощью четырех арифметических операций. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
p |
2 |
|
|
|
|||||
Например, |
R(u; v) = |
|
2 |
2u |
¡3v |
|
2 |
- рациональная функция относительно |
u |
и |
v |
; |
R(x; px; p3 x) = |
5 |
|
|
x3 |
|
- рацио- |
|||||||||||||||||
|
5u |
|
¡ |
6uv+v |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x¡ x+ |
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
px; p3 x; R(sin x; cos x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
нальная функция относительно x; |
|
sin2 ¡ |
|
- рациональная функция относительно sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
и cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 sin x+cos x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|