1 (1)

11. дифференциалые уравнения высших порядков .начальные условия.

F (x; y; y’;…; y⁽ⁿ⁾) – дифференциальное уравнение n – порядка или y⁽ⁿ⁾ = f(x; y; y’; …; y^(n-1)) Общим решением этого уравнения является: y = j(x; c₁; c₂;…; c_n)Для дифференциального уравнения n – порядка имеет место теорема Коши о существовании и единственности частного решения уравнения при данных   n – начальных условиях. Например для дифференциального уравнения второго порядка. Теорема Коши: y``=f(x,y,y`)начальные условия: x=y()=y<sub>0</sub>, y`(x₀)=y`<sub>0</sub>. Если  f(x,y,y`)непрерывна в точке  (x₀,y_0,y`<sup>0</sup>)и в этой точке непрерывна частная производная f`_y`, то существует, причём единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям .y*= φ (x,C*₁,C*₂)

12.теорема существования и единствености решения дифференциалые уравнения высших порядков .

Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Задачей Коши для ДУ n -го порядка называется задача отыскания его частного решения у = у(х), которое удовлетворяет начальным условиям:y(x₀)=y₀;y<sub>`</sub>(x<sub>0</sub>)=y`₀;y``(x<sub>0</sub>)=y``_0;…;y^(n-1)₀(x₀)=y^(n-1), где x_0, y`<sub>0.</sub>y``<sub>0…..</sub> y<sup>(n-1</sup><sub>0</sub> заданные числаТаким образом, решение задачи Коши для ДУ n -го порядка сводится к нахождению интегральной кривой, проходящей через точку M<sub>0</sub>(x<sub>0,</sub> y<sub>0</sub>,y`_0.y``<sub>0…..</sub> y<sup>(n-1</sup><sub>0</sub> ) из области определения (D ) функции f(x,y,y`<sub>0</sub>,y``,..,y^(n-1))

Теорема. Задача Коши для ДУ n -го порядка имеет единственное решение, если:

1. f(x,y,y`₀,y``,..,y^(n-1)) непрерывна в области D ;

, ,,…, непрерывны в области D .

В этом случае решение ДУ n -го порядка проходит через заданную точку M₀(x_0, y₀,y`_0.y``_0….. y^(n-1₀ )

13. методы понижения порядка уравнения

1. Уравнения, не содержащие искомой функции и нескольких последовательных производных.Рассмотрим уравнения вида F(x,y^(k),y^(k-1),…,y⁽ⁿ⁾)=0 (1≤k≤n).С помощью замены y^(k)=u(x), где u  - новая неизвестная функция,  уравнение приводится к уравнению (n-k) -го порядка:F(x,u,u`,…,u^(n-k))=0

2. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Рассмотрим уравнения вида F(y,y`,..,y<sup>(n)</sup>)=0 С помощью замены y`=p,(где p=p(y) - новая искомая функция независимая переменная) порядок уравнения понижается на единицу, так как

Y``===pp`

y```===(p``p+p`²)p

Данная подстановка дает уравнение (n-1) - го порядка относительно новой неизвестной функции p:F₁(y,p,p`,..,p^(n-1))=0 При осуществлении такой замены возможна потеря решения y=const. Непосредственной подстановкой необходимо проверить наличие у уравнения решений такого вида.

14. понятие первого интеграла. Задача каши. нормальные системы дифференциальных уравнений

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям .Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t=0, а решение отыскивается при t>0.От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y=f(t)и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x_0,y₀)имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y=f(t). Точка (x_0,y₀)задаёт начальные условия.

15 Линейные однородные с частными. ур-ие ( - данные функции аргументов , определены в , - искомая функция) – линейное однородное с частными. Решением будет дифференцируемая по , которая при подстановке в исходное превращает его в тождество. Геометрически решение: поверхность в пр-ве переменных x, u (интегральная п-ть). Систему обычных диффуров, соответствующую ур-ию (1) (2) - называют системой в симметричной форме. (2) в силу условий, наложенных на коэффициенты (1), можно записать в нормальной форме (3). Рассм. в области единственности общее решение этой системы: если удаётся разрешить эти ур-ия отн-но . Получим (4) – каждое из этих ур-ий называется первым интегралом системы (3), а каждая из функций - интегралом этой же системы. Интегральные кривые системы ур-ий (2) или (3) называют х-ми ур-ия с частными производными (1). Связь между решениями ур-ия (1) и интегралами соответствующей системы обычных диффуров (3) или (2): Т1. Если - интеграл системы (2) или (3), то - решение (1). Т2. Если - решение (1), то - интеграл (3). Т3. Общим решением (1), т.е. решением, которое вмещает все без исключения решения этого ур-ия, является - произвольная дифференцируемая функция. Задачей Коши для (1) наз-ся задача о нахождении решения , этого ур-ия, которое удовлетворяет условию , где - гладкая гиперповерхность, а - начальное условие. Построение решения (1) с нач. условием : 1. находим базис первых интегралов системы в симметричной форме (2), соответствующей исходному (1). 2. Составляем систему функциональных ур-ий которую разрешаем относительно : 3. строим функцию 4. Выписываем искомое решение по формуле и если возможно проводим аналитическое упрощение.

.

 

.