49 Объемная плотность энергии магнитного поля. Механические силы в стационарном магнитном поле: метод виртуальных перемещений; давление магнитных сил.

Плотность энергии магнитного поля – количество магнитной энергии в единице объема соленоида:

Где H=InI=

Итак:

Аналогично

Механические силы в стационарном магнитном поле

Пусть существует система из n магнитносвязанных электрических цепей, в которых протекают постоянные токи. Пусть одна из цепей перемещается в направлении оси х на величину dx. При перемещении цепи будет выполнена механическая работа:

где  Fx - сила, действующая на цепь в направлении х

Вследствие перемещения цепи произойдет изменение магнитного поля системы: .Изменение потокосцепления каждой цепи Ψk вызовет появление напряжения на ее зажимах:, при этом в системе будет выполнена дополнительная электрическая работа:

В соответствии с законом сохранения энергии составим баланс энергий: ,  или , откуда следует, что, , т. е. составляющая силы, действующей на электрическую цепь в произвольном направлении равна производной от энергии магнитного поля в этом же направлении.

Составляющие силы, действующей на электрическую цепь в направлении осей координат x, y, z:

   .;

Результирующая сила направлена в сторону наибольшего возрастания энергии магнитного поля.

Так как по условию токи цепей постоянны, то и энергия собственного магнитного поля, равная  тоже постоянна, а изменяется только взаимная энергия системы Wвз и, следовательно, сила .

Если система состоит только из двух магнитносвязанных цепей, то энергия магнитного поля будет равна:

.

  Тогда получим:

В измерительных приборах электродинамической системы вращающий момент, действующий на подвижную систему прибора, будет равен:

,

т.е. вращающий момент пропорционален скорости изменения взаимной индуктивности М при повороте подвижной системы прибора.

51. Переходные процессы в цепи с постоянной ЭДС и индуктивностью: временные зависимости токов и напряжений при нарастании и спаде тока в катушке индуктивности; постоянная времени электрической цепи с индуктивностью.

Рассмотрим подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС E (рис. 1 а)).

Установившийся ток в этой цепи будет определяться только ЭДС E и резистивным сопротивлением R, т.к. после окончания переходного процесса i = const и u_L = Ldi/dt = 0, т.е. i_у = E/R .

Полный ток в переходном процессе из выражения (1)

.

Для определения постоянной I найдем начальное тока. До замыкания ключа ток очевидно был нулевым, а т.к. подключаемая цепь содержит индуктивность, ток в которой не может измениться скачкообразно, то в первый момент после коммутации ток останется нулевым. Отсюда

Подставляя найденное значение постоянной I в выражение для тока, получим

(2)

Из этого выражения можно определить падения напряжения на резисторе u_R и индуктивности u_L

(3)

Из выражений (1)-(3) следует, что ток в цепи нарастает по экспоненте с постоянной времени  = L/R от нулевого до значения E/R (рис. 1 б)). Падение напряжения на сопротивлении u_R повторяет кривую тока в измененном масштабе. Напряжение на индуктивности u_L в момент коммутации скачкообразно возрастает от нуля до E , а затем снижается до нуля по экспоненте (рис. 1 б)).

Подставляя выражения (3) в уравнение Кирхгофа для цепи после коммутации, можно убедиться в его справедливости в любой момент времени

52. Свободные незатухающие электромагнитные колебания в параллельном контуре: взаимные превращения энергии электрических и магнитных полей; уравнение незатухающих колебаний, период собственных незатухающих колебаний в контуре.

Колебательный контур-это электрическая цепь, состоящая из емкости С и катушки индуктивности L, в которой обкладки конденсатора замкнуты катушкой индуктивности.

Дифференциально е уравнение свободных незатухающих колебаний имеет вид:

(1)

где- собственная циклическая частота контура,- вторая производная заряда по времени.

Решением дифференциального уравнения (1) является функция

Где -максимальное значение заряда на обкладках конденсатора,- фаза колебаний,-начальная фаза. Значение собственной частоты колебанийопределяется свойствами самого контура, а значенияи-начальными условиями. Напряжение между обкладками конденсатора изменяется по закону:

(3) , где

С учетом определения силы тока, функция зависимости силы тока в катушке будет иметь вид:

, или) (4)

Т.о, при свободных незатухающих колебаниях ток в катушке опережает по фазе напряжение на конденсаторе на . Значение собственной циклической частоты колебаний в контуре определяется выражением:(5)

Cучетом выражения период свободных колебаний в идеальном колебательном контуре будет определятся формулой Томсона: (6)

53. Свободные затухающие электромагнитные колебания в параллельном контуре: коэффициент затухания и добротность контура; уравнение затухающих колебаний; период собственных затухающих колебаний в контуре, критическое затухание.

Колебательный контур-это электрическая цепь, состоящая из емкости С и катушки индуктивности L, в которой обкладки конденсатора замкнуты катушкой индуктивности. Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание проводов. При таких условиях свободные электромагнитные колебания будут затухающими.

Дифференциальное уравнение затухающих свободных колебаний имеет вид:

(1), где-коэффициент затухания. При решением уравнения является функция:

Где ω

Величину принято называть периодом затухающих колебаний. При незначительном затухании() период затухающих колебаний практически равен периоду свободных незатухающих колебаний.

Время релаксации τ-время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз. Коэффициент затухания β связан с временем релаксации соотношением:

(3)

Логарифмический декремент затухания λ определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через интервал времени, равный периоду колебаний T:

(4),

Где α- амплитуда соответствующей физической величины(q,U,I)

Если – количество колебаний за время релаксации, то логарифмическийдекремен затухания можно выразить иначе:

(5)

Добротность колебательного контура характерезует“эффективность” рассеяния энергии контура при наличии в нем активного сопротивления. Эта величина определяется из оcотношения:

(6)

Вынужденные колебания-незатухающие колебания, возникающие в R,L,C – цепи под действием внешнего периодически изменяющегося напряжения:

(7)

Где -амплитудное значение напряжения, -циклическая частота напряжения.

54 Активное сопротивление, емкость и индуктивность в цепи синусоидального переменного тока: временные зависимости мгновенных значений сил тока, напряжений и мощностей; активные и реактивных сопротивления, сдвиги фаз, активные мощности.

Сопротивление:

Если напряжение  подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

(1)

   Анализ выражения (1) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.          Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид

 (2)

      где    и- комплексные  амплитуды  тока и напряжения.       Комплексному уравнению (2) соответствует векторная диаграмма (рис. 6.4).

     Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению.      Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением.                                Рис.6.4       Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.

Емкость в цепи синусоидального тока

     Если к конденсатору емкостью C подключить синусоидальное напряжение, то в цепи протекает синусоидальный ток

(1)

   Из анализа выражений (1) следует, что ток опережает напряжение по фазе на 90^o.

      Выражение (6.13) в комплексной форме записи имеет вид:

(2)

       где  - емкостное сопротивление, фиктивная расчетная величина, имеющая размерность сопротивления.

        Если комплексное сопротивление индуктивности положительно.

, то комплексное сопротивление емкости отрицательно

^o.