28. Принцип включения и исключения:

Теорема. Если А₁, A₂, ..., A_n – некоторые конечные множества, то:

m(A₁A₂…)=[m(A₁)+…+m(A_n)]-[m(A₁)+m(A₁A₃)+…+m(A_n-1)]+[m(A₁)+…+m(A_n-2)]-…+([m(A₁)].

Поясним формулировку этой теоремы. Правая часть формулы в теореме представляет собой алгебраическую сумму n слагаемых (взятых в квадратные скобки), имеющих попеременно знак «+» и «–».Первое слагаемое – число элементов, входящих хотя бы в одно из множеств А₁, A₂, ..., A_n, второе – число элементов, входящих хотя бы в одно из множеств (i < j, i = 1, …, n, j = 1, …, n), третье – число элементов, входящих хотя бы в одно из множеств (i < j < k, i = 1, …, n, j = 1, …, n, k = 1, …, n) и так далее. . Последнее слагаемое, взятое со знаком , – число элементов в множествеA₁ . Такое попеременное включение и исключение слагаемых с целью учета каждого элемента только один раз и послужило причиной для названия этой формулы: формула включений и исключений.

Эту формулу можно доказать, используя метод математической индукции. Мы ограничимся ее доказательством только для случая n = 3, то есть покажем, что m(AUBUC)= m(A)+m(B)+m(C)-m(B)-m(A)-m(A)+m(A)

Доказательство. Чтобы не писать индексы, рассмотрим множества А, В, С. Используя очевидное равенство AU B UC = AU(B UC) и то, что эта формула доказана для двух множеств, получим:

m(AU B UC) = m(AU[B UC]) = m(A) + m(B UC) − m(A[B UC]) ,

Так как A[B UC] = [AB]U[AC]то:

m(A) + m(B UC) − m(A[B UC]) = m(A) + m(B UC) − m([AB]U[AC]) ,

Применяя формулу включений и исключений для двух множеств еще два раза, получим:

m(A) + m(B UC) − m(A[B UC])=m(A)+m(B)+m(C)-m(B)-(m(A)+m(A)-m[A]).

После очевидных преобразований, получим в итоге доказываемую формулу

m(AUBUC)= m(A)+m(B)+m(C)-m(B)-m(A)-m(A)++m(A

29.

30. Схемы правильных рассуждений. Аксиоматические теории

Формула, содержащая булевы переменные называется тождественно истинной или тавтологией, если она выражает булеву функцию f()1. Аналогичная формула называется тождественно ложной, если эта формула выражает булеву функцию f()0.Формула называется выполнимой, если f()0. Опровержима, если f()1.Перечислим основные тавтологии:

1)Av.

2)A.

3)A(B).

4)(A)(A)).

5)(A

6)A&B.

7)A

8)A; B(A).

9)()((A)

10)((AB).

1)-10)-тавтологии, ABC-произвольная формула.

Рассуждение будем считать правильным, если из конъюнкций правильных посылок следует истинность заключений. Пусть P₁…P_n посылки заключения Q для правильности. Схемы рассуждений из P₁…P_n Q необходимо установить, что формула (P₁&P₂&…&P_n)Q. При этом правильным является лишь рассуждения формулы Pi,Q не обязательно должны быть истины. Если какая либо из формул Pi=0, то P₁&…&P_n=0; 0Q всегда истина. P_i=1,i=;P₁&…&P_n=1;1Q; если Q=1;

Опр: Формальной аксиоматической теорией T,будем называть систему состоящую из 1)некоторого алфавита А.Элементы которого аi будем называть символами теории слова ai,ai+1,…,ai+n. –выражения в Т.2)выделенные выражения в Т называются формулами теории. 3) В Т выделены подмножества формул называемые аксиомами.4) в теории Т определяется множества правил R₁,…,R_k. k называется правилом вывода. Если А₁…А_n, В-формулы и выполнены отношения R(A₁,…,A_n,B),то формула B называется непосредственно следствием формулы A₁,…,A_n подчиненные правилу R.

Выводом в Теории называется любая последовательность формулы B₁,…B_n такая что формула B_i где i=. Являлась либо аксиомой теории Т либо непосредственным следствием предыдущей формулы этой последовательности.

Формула С называется теоремой теории Т, если существует вывод последней формулы которой является С. Таким образом теорема в теории Т формула которой может быть выведена из аксиом теории по имеющимся правилам вывода. В общем случае множества формул {В₁,…,В_n}=Г.

Пусть {A₁,…,A_m} такая что А_i либо аксиомы теории, Либо формулы последовательности Г. Тогда формула А_m называется следствием системы формул Г и обозначается ГА:

Основные правила вывода:

Пусть Г произвольное множество формул. АВС –некоторые формулы.

1)Г, А

Г

3)()&(Г)&(АВ)(Г).

4) ()&())&(Г).

31. Формула содержащая булевые переменные называется тождественно истинной или тавтологией, если она выражает собой булевую функцию f(ⁿ).

Аналогично, формула тождественно ложная, если эта формула выражает функцию f(ⁿ).

Формула называется выполнимой, если f(ⁿ); опровержимой, если f(ⁿ).

Перечислим основные тавтологии:

1) А

2) A→A;

3) A→(B→A);

4) (A→B)→((B→C)→(A→C));

5) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C));

6) A&B→A , A&B→B;

7) A→(B→A&B);

8) A→(A˅B) , B→(A˅B);

9))→(()→B);

10)((A→B)→A)→A; (Закон Пирса) (A,B,C – произвольные формулы)

Предикативные формулы:

Предикатом будем называть ф-цию P:Mⁿ→{0,1}, где M- И либо Л , где М – произвольное множество, т.е. ф-ция P сопоставляет каждому вектору ∀(m₁,m₂,…,m_k) координату 0 или 1.

Множество M называется предметной областью предиката, m₁,m₂,…,m_n предметными переменными , а P– предикатным символом n-местного предиката.

Предикатной формулой будем называть формулу содержащую переменные символы предикатов, логические символы ,& , ˅ , ~ , → .

P-символ предиката.

1) x₁,…,x_n–предикатные переменные, то P(x₁,…,x_n) –n-местный предикат и все его переменные свободны.

2) Если A-предикатная формула, то – так же предикатная формула с тем же набором свободных переменных.

3) Если A,B– предикатные формулы и нет переменных свободных в одной формуле и связанных в друг., то формулы A&B, A˅B , A~B , A→B также формулы с теми же свободными и связанными переменными .

4) Если A – формула содержащая свободную переменную –x, то ∀x:A , ∃x:A так же предикатные формулы в каждой из которых х – связная переменная (количество свободных переменных уменьшилось на одну)

Эквивалентными будем называть те предикатные формулы, у которых области истинности совпадают.

Исчисление предикатов:

Теорема: (о подстановке) Пусть F-тождественно истинная формула, тогда подстановка на места её переменных x₁ ,…, x_n формул B₁ ,…, B_n такая , что получаем правильных предикативная формула даёт общезначимую формулу логики предикатов.

Теорема: (Черча) Не существует алгоритма, который для любой формулы логики предикатов устанавливал бы, общезначимая формула либо нет.

Составим аксиоматическую теорию исчисления предикатов:

Алфавиты и предикатные формулы определим так же как они определялись для булевых функций.

1. , → А₁ -А_{4 –} совпадают с соответствующими аксиомами исчисления высказываний. А₅ , ∀x_i (P(x_i)→P(x_k)) если P(x_i) не содержит переменной x_k A₆ , P(x_i)→∃x_k(P(x_k))

3)Правило вывода:

1)A,(A→B)/B ; (A,A→B⊦B)

2)B→A(x_i)/B→∀x_iA(x_i) ;если B не содержит переменной x_i

3) A(x_i)→B/ ∃x_i( A(x_i))→B; при этом B не содержит x_i

4)Любую связанную переменную в формуле А можно заменить в кванторе и во всех вхождениях этой переменной в области действия этого квантора.

Понятия вывода теоремы вывода из системы гипотез определяется так же как в ∀ аксиом теории.

1. Аксиомы исчисления предикатов общезначимые формулы

2. Формула полученная из общезначимой по любому из правил вывода 1-4 так же является общезначимой

3. Любая выводимая в исчислении предикатов формула является общезначимой

Исчисления предикатов не противоречивы, т.к. невозможно одновременно вывести формулы Aи .