25. Перестановки с повторениями

Пусть задано конечное множество U={a₁,a₂,…,a_n}. Рассмотрим набор из элементов a_i1,a_i2,…,a_ik где aiU, i, k≤n этот набор называется выборкой объемов к из n элементов.

Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следование элементов, если порядка следования не существует, то выборка называется неупорядоченной. Упорядоченные выборки n из n называется перестановкой. Число таких перестановок P_n=n! Упорядочен выборки объем m из n элементов(m<n) где все элементы различны называется размещениями и обозначается , число таких размещений .

Перестановка с повторениями : пусть имеется n элементов среди которых , к₁ элементов 1 типа , к₂ элементов 2 типа … к_r элемент r типа. Причем к₁+к₂+…+ к_r=n упорядочен выборки из таких m элементов по n называется перестановкой с повторением и обозначается

(k1,k2,…,kr) =, их называют полиниальными коэффициентами.

26. Полиномиальная теорема. Принцип Дирихле.

Принцип Дирихле : Если в m ящиках расположены n кроликов, при этом (n>m) то хотя бы в 1 из ящиков будет находиться больше чем 1 кролик . (Например :9 ящиков , 10 кроликов.) Если n кроликов рассажены в m ящиках, то хотя бы в 1 ящике находится не менее кроликов, а также хотя бы в 1 ящике не более кроликов.

Полиномиальная теорема: Выражение равно сумме всех возможных слагаемых вида , гдеr1+r2+…+=n, то

есть =.

Доказательство: Перемножим последовательность

n раз. Тогда получаем

слагаемых вида d1…dn, где каждый множитель di равен или а1, или а2 ,…, или .Обозначим

через В(r1,…,) совокупность всех слагаемых ,

где а1 встречается множителем r1 раз ,а2-r2 раз ,

…, -раз .Число таких слагаемых равно

Cn( r1,…,). НоCn( r1,…,)=.

Следовательно =.

27.Рекуррентные соотношения и производящие функции.

Рекуррентные соотношения :это соответствия позволяющие свести решение комбинаторной задачи для некоторого числа объектов к аналогичной задаче с меньшей размерностью.

Пусть f(n) некоторое рекуррентное соотношение и для него известно =F()(1). ГдеF(y₁,…,y_k) известная функция от k переменных тогда (1) называется рекуррентным соотношением к –ого порядка. Последовательность чисел называется решением соотношения (1), если при подстановкев (1) получается верное равенство.

Если в (1) первые к соотношений f1,f2,…fk заданы произвольно то соотношение (1) имеет бесконечное число соотношений.

Опр: Пусть f(n) общее решение соотношения (1) если оно зависит от к произвольных постоянных то записывают =(С₁,С₂…С_n,n). Если для любого X_n существует С₁’,С₂’…С_к’ что является решением то записываютX_n=(С₁’,С₂’…С_к’,n).

Опр: Линейное однородное рекуррентное соотношение 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется рекуррентным соотношением вида =,n=1,2…(2)

Уравнение =а₁+а₂ (3) называется характеристическим уравнением соотношения (2).

Теор: Если характеристическое уравнение (3) имеет 2 различных корня 2 то общее решение рекуррентного соотношения (2) имеет вид,=С+С2. Если уравнение (3) имеет кратные корни то общее решение имеет вид=(С1+С2).

Опр: Линейное рекуррентное соотношение к-го порядка называется соотношение вида =а1+а2+…++(4).

Характеристическим для (4) будет уравнение вида =а1+а2+…++.(5)

Теор: 1)Пусть ,…,Попарно различные корни характеристического уравнения (5) Тогда общее уравнение (4) записывается в виде=С+С₂…+ С_n

Пусть ,…,попарно различны корни характеристического уравнения (5) имеющие кратностьmi причем m₁+m₂+…+m_p=k, i=1,p. Тогда общее решение уравнения (4) имеет вид

=(С11+С12n+…+)+…+(Cp1+Cp2+…). Для решения рекуррентных соотношений используют так же метод производящих функций.

Пусть задано линейное рекуррентное соотношение а₀=0, а₁=1, а_n=5,n>=2.

Производящую функцию G(z)будем искать в виде ряда =a0+a1z+a2+… с этой целью отношениеG умножают соответственно на …. 0+1+…+(5)+…+a0+a1z+=z+5-6G(z)=z+5zG(z)-6G(z). Откуда производящая функция G(z)=. Оно задает производящую функцию последовательности (5) в замкнутом виде =+.An=-,n=0,1,2… решение рекурсивного выражения 5.