58.Код Хэмминга.

Зафиксируем число n, вычислим l такое, что 2^l-2≤n≤2^l, т.е. l=[]=1. Для произвольного слова Х=х₁х₂…х_nвычислим H(x)=x₁e_l(1)…x_ne_l(n)- вектор полученный в результате сложения векторов e_l(i), является двоичными кодами номеров единичных символов слова х.

Теорема(Код Хэмминга): H_n состоящий из всех слов Х=х₁х₂…х_n, таких, что H_n(х)=(0,0,..,0) является кодом с исправлением одного замещения. |H_n|- число элементов кода |H_n|=2^n-1, причём компоненты или позиции соответствующие 2⁰,2¹,2²,…,2^l-1 наз. проверочными позициями. Позиции отличные от проверочных называются информационными.

Суть метода Хэмминга в том, что кодируемое слово длины n дополняется l проверочными разрядами, которые определяются образом высчитывания при кодировании. В итоге передаёт слово, длины m+l, где проверочные символы стоят на 2⁰,2¹,2²,…,2^l-1месте.

59.Троичный код Хэмминга. Пример.

Расширенный код Хэмминга(EH_ml) получен из двоичного кода Хэмминга добавлением бита проверенного на чётность, минимальное расстояние в таком коде увеличивается до 4, т.е. полученный код исправляющий одну ошибку и обнаруживающий 2 ошибки. Код Хэмминга может быть распространён на любое конечное поле F_q. Выберем произвольно l и построим проверочную матрицу для линейного кода F_q с избыточностью b исправляемую одну ошибку, добавлением каждый новый столбик будем проверять, что он ЛНЗ от ранее выбранного столбца.

1.Выберем q⁰=1 столбцов, когда столбец выбран, удаляем из дальнейшего рассмотрения не только этот столбец, но и все его q-1 кратных столбцов. Получим, что . Построен таким образом минимальный кодH_ml(p) имея избыточность если существует проверочная матрица семейства столбцов.

Теорема: Код Хэмминга избыточности 1 над полем F_q является линейным:является совершенным кодом исправляющим ошибку.

Док-во: Длина кода n=, т.к. код имеет избыточностьl, то его размерность n-l, значит граница Хэмминга определяется условиями q^n-l(1+(q-1)n)≤qⁿ, q^n-l(1+(q-1))=q^n-lq^l=qⁿ≤qⁿ код является совершенным.

Задача: Рассмотри троичный [13,10] код Хэмминга

Декодировать (2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1) Х=(11001), |Х|=5, l=[]+1=4 и ещё построить таблицу и найти проверочные элементы.

60.Алфавитное кодирование.

Постройка кода, когда кодируется каждая буква алфавита А={а₁,а₂,…} называется алфавитным кодированием.

Пусть α=α₁α₂ некоторое слово, тогда α₁ называется префиксом(началом слова), а α₂-постфиксом(конец слова). Алфавитное кодирование задаётся схемой: δ=(α₁→β₁,…,α_n→β_n) где α_i, β_i. Множество слов V={β_i |β_i}, i=1,n называется множеством элементарных кодов.

Алфавитное кодирование можно использовать для любого множества сообщений S. F:A*→B* ,если F(α)=(β_i1,…,β_ik), где α=(α_i1,…,α_ik).

Пример: А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} B={0,1}

δ₁={0→0, 1→1, 2→10, 3→11, 4→100, 5→101, 6→110, 7→111, 8→1000, 9→1001}.

Пример: А={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} B={0,1}

δ₂={0→0000, 1→0001, 2→0010, 3→0011, 4→0100, 5→0101, 6→0110, 7→0111, 8→1000, 9→1001}.

Схемы δ₁и δ₂ являются однозначными, но δ₁не является взаимно-однозначным соответствием, а кодирование по схеме δ₂ является взаимно-однозначным. Схема алфавитного кодирования δ называется разделимой, если любое слово, составленное из элементов кодов единственным образом, разбивается на эти элементарные коды. Алфавитное кодирование с разделимой схемой допускает декодирование.

Теорема: Префиксная схема является разделимой. Для того чтобы схема алфавитного кодирования была разделимой необходимо, чтобы длина элементарных кодов удовлетворяла неравенству Макмиллана: , гдеk_i=|β_i|.