44.Маршруты. Пути. Цепи. Связные графы.

Пусть G – н-граф. Маршрутом М графа G называется такая последовательность ребер (,, … ,), в которой два ребра,имеют общую вершину. В маршруте одно и то же ребро может встречаться несколько раз. Начало маршрута.инцидентно.не инцидентно.

Маршрут, начало и конец которого совпадают называется циклическим.

Маршрут, в котором все ребра разные – цепь. Цепь, не имеющая повторяющихся вершин, называется простой цепью. Циклический маршрут, являющийся цепью, называется циклом, являющийся простой цепью – простым циклом.

Вершины ,называютсясвязанными, если существует маршрут М с началом в и концом в.

Связанные маршрутом вершины, связаны также и простой цепью. Причем отношение связности обладает свойством эквивалентности и определяет разбиение множества V(G) на не пересекаемые множества V:(G) связных вершин. Граф G называется связным, если все его вершины связаны между собой. Если граф G несвязный, то связными будут множества V:(G), которые называются связными компонентами графа. Каждый н-граф распадается единственным образом на прямую сумму своих связных компонентов.

Пример.

Пусть G – орграф.

Последовательность дуг, в которой конец предыдущей дуги совпадает с началом следующей дуги, называетсяпутем. Одна и та же дуга в пути может встречаться несколько раз. Путь называется ориентированной цепью, если каждая дуга встречается не больше одного раза; простой цепью – если не содержит повтор вершин. Замкнутый путь называется контуром. Контур называется циклом, если путь является цепью; простым циклом – если простой цепью. Граф называется связным, если он связан без учета ориентации дуг, и сильно связным, если из любой вершины графа в любую другую существует путь. Число дуг пути называется его длиной.

Определение. Путь называется простым, если все вершины графа, по которым он проходит, различны (более одного раза не проходит по одной вершине).

Определение. Путь называется замкнутым, если он начинается и заканчивается в одной и той же вершине (v₀ = v_n).

Определение. Циклом называется замкнутый путь, не проходящий более одного раза по одному и тому же ребру.

Определение. Цикл называется простым, если он более одного раза не проходит через одну и ту же вершину, то есть v₀, …, v_n-1 – различные.

45. Геометрическая реализации графа. Теорема о реализации конечного графа в трёхмерном пространстве.

Определение. Пусть задан некоторый неориентированный граф G = (V, E). Пусть любой вершине v_i графа G сопоставлена некоторая точка a_i: v_i → a_i, a_i ≠ a_j (i ≠ j), а любому ребру e = (a, b) сопоставлена некоторая непрерывная кривая L, соединяющая точки a_i и a_j и не проходящая через другие точки a_k (k ≠ i, j). Тогда если все кривые, сопоставленные рёбрам, не имеют общих точек, кроме концевых, то говорят, что задана геометрическая реализация графа G.

Теорема. Для любого графа существует его реализация в трёхмерном пространстве.

Доказательство. Возьмём в пространстве любую прямую l и разместим на ней все вершины графа G. Пусть в G имеется q рёбер. Проведём связку из q различных полуплоскостей через l. После этого каждое ребро графа G можно изобразить линией в своей полуплоскости и они, очевидно, не будут пересекаться. Теорема доказана.