22.Определение случайной последовательности . Определение сходимости по вероятности .Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева.

На практике часто приходится исследовать последовательность счетного числа СВ . например, исследуем динамику курса обмена валюты, в этом случае наблюдается последовательность ξ1, ξ2 , ξ3…, €R, где ξnобменный курс вn-ый торговый день. Удобной моделью для таких случаев явл-ся понятие случайной последовательности .Случайной последовательностью { ξn}n=1,2,3… ξn€Rназывается счетное параметрическое семейство СВ ξ1, ξ2 , ξ3… параметрnэтого семейства пробегает множество натуральных чисел. Основной вопрос, связанный со случайными последовательностями - это вопрос их сходимости. В теории вероятности существует 4 основных вида сходимости: а) сходимость с вероятностью близкой к 1 б)по вероятности Р в) в среднем порядном к г) по распределению. Последовательность СВ { ξn} сходится к случайной величине ξ по вероятности Р, если для всех ε› 0 Неравенство Маркова: если Uне отрицательнььльой СВ существует математическое ожидание М_ξ то при любом ε›0 имеет место неравенство Маркова: Р(ξ ‹ ε) ≥1- М_ξ/ ε или Р(ξε) ‹М ξ / ε Пример: средний срок службы мотора 4года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет .Решение: пусть СВ ξ- это срок службы мотора, тогда по условию М_ξ =4 - средний срок службы мотора, требуется оценить вероятность: Р(ξ ≤20)≥1 – 4/20 =0,8.

Неравенство Чебышева: для всех ε›0 и любой СВ ξ, дисперсия которой конечна( то есть D_ξ<∞) имеет место неравенство Чебышева Р(),или Р(Пример: средняя длина детали 50см, а дисперсия 0,1 пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5см и не больше50,5 см. Решение: пусть СВ-это длина случайно взятой детали , по условию Мξ=50, Д=0,1 тогдаσ_ξ = корень из 0,1 .. Требуется оценить следующую вероятность Р(49,5‹ξ‹50,5)=Р()=0,6.

23.неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. ЗБЧ и условие его выполнения.

Неравенство Маркова: еслиUне отрицательной СВ существует математическое ожидание М_ξ то при любом ε›0 имеет место неравенство Маркова: Р(ξ ‹ ε) ≥1- М_ξ/ ε или Р(ξε) ‹М ξ / ε Пример: средний срок службы мотора 4года. Оценить снизу вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет .Решение: пусть СВ ξ- это срок службы мотора, тогда по условию М_ξ =4 - средний срок службы мотора, требуется оценить вероятность Р(ξ ≤20)≥1 – 4/20 =0,8.

Неравенство Чебышева: для всех ε›0 и любой СВ ξ, дисперсия которой конечна( то есть D_ξ<∞) имеет место неравенство Чебышева Р(),или Р(Пример: средняя длина детали 50см, а дисперсия 0,1 пользуясь неравенством Чебышева оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не меньше 49,5см и не больше50,5 см. Решение: пусть СВ-это длина случайно взятой детали , по условию Мξ=50, Д=0,1 тогда σ_ξ = корень из 0,1 .. Требуется оценить следующую вероятность Р(49,5‹ξ‹50,5)=Р()=0,6.

ЗБЧ и условие его выполнения .

Закон больших чисел - это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. По формуле выглядит это так: 1/n*1/n*

То есть под ЗБЧ понимается свойство устойчивости массовых явлений состоящее в том что средний результат действия большого числа случайных явлений перестает быть случайным и может быть предсказуем с достаточной определенностью.

Теорема Чебышева

Пусть ξ1, ξ2 , ξ3- это последовательность независимых СВ, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С, то есть D_ξk≤C,k=1,2,3... Тогда какого бы ни было положительное число, справедливо: Р(l 1/n*-1/n*l< ε)≥1-D()/ε²=1-D()/n²ε²=1-D()/n²ε²≥1-/n²ε²=1-nC/n²ε²=1-C/nε².

Отсюда следует, что(так как из полученной оценки мы имеем Р(l 1/n*-1/n*l< ε)≥1 приn→∞, то тем самым это означает Р(l 1/n*-1/n*l< ε) →1 приn→∞.

Пример: сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой = а, чтобы с вероятностью не меньшей 95% можно было утверждать, что среднее арифметическое значение этих измерений отличается от а по абсолютной величине меньше чем на 2,если среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 10. Решение: пусть СВ ξiэто результат і-ого измерения, по условию М ξi=aσ_ξi<10,D_ξi<100,….,n- ? по вероятности Р (l 1/n*-al< 2) ≥0.95 . В данном примере Св ξiодинаково распределены и 1/n*=1/n*=a.Aс другой стороны дольно выполняются неравенство Р(l 1/n*-al< 2)≥1-100/n*2^2, неравенство во всяком случае будет выполняться , если 1-100/n*2^2≥0,95, →n=500( то есть надо провести более 500 опытов, чтобы с вероятностью в 95% быть уверенным , что среднее арифметическое значение отличается меньше чем на 2).

Теорема бернулли : Пусть m — число наступлений события A в k независимых (попарно) испытаниях, и p есть вероятность наступления события A в каждом из испытаний. Тогда при любом ε>0 справедливо неравенство: P{lm/k-pl≥ε}≤p*(1-p)/kε² .