17.Мат.Ожидание и его свойства.

Из всех характеристик случайных величин важнейшей является математическое ожидание СВ.

ОПР1:математическим ожиданием дискретной СВ называется величина рассчитываемая по формуле:=

ОПР2: математическим ожиданием непрерывной СВ называется величина рассчитываемая по формуле:=

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ(среднее взвешенное по вероятностям).Физический смысл мат.ожидания:если на невесомом стержне разместить единичную массу, поместив в точке массудля дискретного распределения или размеров(единичную массу с плотностью(x))для непрерывного распределения, то мат.ожидание будет координатой центра тяжести

Свойства мат.ожиданий:

1.=C=const

2.M(C)=C=const(мат.ожидание от постоянной величины = величине самой постоянной)

3.M()=C,где C=const

4.Если ≤b

5.СВ =f(),гдеf-некоторая функция ,то

==

6.Для любых СВ ,M(+-это свойство может быть обобщено на случай трех и более величин,если их число конечно.

7.если независимые СВ ,то=*,это может быть обобщено на случай трех и болеевеличин,если их число конечно.

18.Дисперсия и её свойства

Дисперсией СВ называется число=M

Дисперсия это мера «разброса или рассеивания» распределения СВ вокруг мат.ожидания .Дисперсия равна моменту инерции распределения единичной массы на прямой.

Рассмотрим :=M=M+)=-2+- Упрощенная формула для обозначения дисперсии

=-

Свойства дисперсии :

Основные свойства дисперсии:

дисперсия любой случайной величины неотрицательна, Dx0;

дисперсия константы равна нулю, Dc=0;

для произвольной константы D(cx) =c2D(x);

дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(x±h) =D(x) +D(h).

1.=const≥0

2.D(C)=0,c=const // D(C)=M=M=M(0)=0

3.D(C*=// D(C*=M=M=M(C())=M=

4.Если ,то дисперсия суммы :D()=M-=

M()-(+2+)=+2+--2-=

=-+-=,т.к.независимы,то 22

5.Дисперсия суммы конечного числа попарно независимых СВ = сумме их дисперсий

+)=

из формулы =Mследует ,что еслиизмеряется в метрах ,например,уровень воды в реке ,тобудет измерятся в.Чтобы привести характеристику рассеивания измерения к единицам измерения СВнужно извлечь из дисперсии корень квадратный.

ОПР1:средним квадратичным отклонением СВ называется величина=+

Формулы для вычисления дисперсии:

1)если -дискретная СВ ,то по формуле =M:

(1) =

(2)=-

Если –непрерывная СВ ,то по определению по формуле=M

ДСВ: =

ИСВ :

=

=M, f(x)=,

=-,,f(x)=

20 Числовые характеристики системы двух случайных величин.Ковариация.

ОПР1:Начальным моментом порядкаkСВназывается величина

ОПР2:центральным моментом порядкаkназывается величина равная=M

Очевидно ,что ,=M=,=M=-=0

ОПР3:ковариацией СВназывается величина

cov()=M=

=M=

-произведени Mмат.ожиданияминус произведения мат.ожиданий .

Свойства ковариаций :

cov()==

cov()= Сcov()

cov()= cov()

если СВ независимы ,то ковариацияcov()=0.Пустьнезависимы,тогда по формуле

cov()=\\(т.к. для независимых СВ)\\

=.

Т.о. ковариация характеризует зависимость случайных величин ,если cov()≠0,то СВ зависимы ,если жеcov()=0,то СВ могут быть как зависимы так и не зависимыми.

|cov()|≤

Т.о. ковариация характеризует зависимость СВ ,однако она не является безразмерной «характеристикой зависимости»,если ,например -температура воздуха, а-влажность воздуха ,тоcov() измеряется в градусах Цельсия ,умноженный на проценты ()иначе говоря при умножении одной из СВна константуCпо свойству 2 ковариация также умножается на это число ,поэтому ,если

cov()=5,аcov()=100,то мы не можем сделать вывод ,что междузависимость больше ,чем между ().Чтобы получить безразмерно характеристику зависимости вводят новую числовую характеристику.