14. .Классификация случайных величин. Абсолютно непрерывные распределения(примеры основных распределений).

Под законом распределения СВ понимают всякую характеристику из которой по определенным правилам можно получить фу-ю распределения СВ.Все распределения можно поделить на три типа:

1.Дискретные

2.Абсалютно непрерывные

3.Синбулярные

I. . Абсолютно непрерывные распределения.

Определение1: СВ имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует неотрицательная функция ,такая чтобы функция распределения была представлена в виде:

,

Определение2: ф-я называется плотностью распределения вероятностей СВ.СВимеющий абсолютно непрерывное распределение называется непрерывной.

Свойства плотности распределения вероятности:

1.,

2. С-во нормировки dt=1

Определение3:график ф-и называют кривой распределения по свойству нормировки,площадь под распределения =1.Если некоторая фу-я р(х) обладает свойствами 1,2 ,то существует СВ для которой она будет плотностью распределения вероятности.

3.Если , -непрерывная СВ ,то Р()=0,

4.Р()= Р()= Р()= Р()=(х)dx

5.(х)=

6.(х)=(x)=P=1

абсолютно непрерывное распределение.

Примеры основных непрерывных распределений

I.Равномерное распределение на отрезке имеет СВ с плотностью вероятности .(х)==(расстояние с постоянной плотностью)

=,

Построим ф-ю распределения вероятности:

1)При х(X)=dt=0(всегда на первом интервале =0)

2)при(X)==dt+dt=

3)при (X)==dt+dt+dt=1(всегда на последнем равно 1)

Функция распределения:

.(х) =,

Значение от а до b равновероятны,а значения меньше a и больше b невозможны.

II.Показательное(экспоненциальное) распределение имеет СВ с плотностью распределения вероятности :

(х)=

Графики:

Данное распределение обладает свойством несторения,которая заключается в следующем:

Р= Р

15.Нормальное распределение и его свойства.

СВ имеет нормальное распределение, если её плотность распределения вероятностей имеет вид:(X)=,а функция распределения след-я:(x)=dt

СВ имеет стандартное нормальное распределение ,если=0,а=1:(X)=Функция распределения стандартного нормального з-на имеет вид:(х)=dt

Свойства нормальной случайной величины с параметром а,:

.Функция распределения СВ выражается через функцию Ф(Х) следующим образом:(x)=+Ф()

.График плотности распределения при изменении а и ведет себя следующим образом:

.Вероятность попадания нормальной СВ в интервал может быть рассчитано :

P(<<)=()-()Ф()- Ф()

.P( )= 2Ф ()-вероятность отклонения от велечины

.”Правило трёх “:еслиимеется нормальное с параметрами а,,то практически достоверно ,что её значение заключены в интервале (а-3).

P( )= 2Ф ()=2Ф(3)=0,997(св.4)

16.Основные распределения случайных величин, применяемые в статистике.

Рассмотрим три основных з-на распределения, составляющих необходимый аппарат для построения в дальнейшем статистических критериев.

I.Пусть ,,….. , ,-независимые СВ, распределённые по стандартному нормальному з-ну: .

Говорят,что сумма квадратов этих СВ распределена по з-ну () с кстепенями свободы.Эту СВ обозначают (к):

(к)=.

Графики плотности распределения (к) при различных к изображены на рис.:

1.Случайная величина (к) принимает неотрицательные значения, то есть имеет нулевую плотность распределения при х0.Это следует из определения.

2.При большом числе степеней свободы k распределение (к) близко к нормальному.Этот факт иллюстрируется графиком на рис.

3.Мат.ожидание СВ,распределенной по з-ну (к),равноk..

II.Пусть СВ з-ну распределённые по стандартному нормальному з-ну:.Распределение Стьюдента (или t-распределение) с k степенями свободы называется распределение случайной величины ,где(к)-независимая отСВ,имеющая распределениес k степенями свободы. Графики плотности распределения Стьюдента при различном числе степени свободы приведены на рис.Из вида графиков и определения можно сделать некоторые наблюдения о свойствах распределения Сьюдента.

1. Распределения Сьюдента симметрично, причем М=0

2.При больших k распределения Сьюдента близко к нормальному распределению ).

III. На основе распределения вводится еще одна СВ.Распределение Фишера(Фишера-Снедекора или F-распределением) сстепенями свободы называется распределение СВ:

()=где) и)- независимыеСВ,имеющиераспределение соответственно систепенями свобод.

1.из определения видно, что данная СВ не может принимать отрицательные значения,то есть имеет нулевую плотность распределения вероятностей при х0.

2.Графики плотности распределения при различном числе степеней свободы изображены на рис.При некоторых значениях числа степеней свободы и F-распределение прибли жается к нормальному.

.