34.Интервальные оценки.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал (-δ,+δ), который по­крывает (содержит) неизвестный параметр θ с заданнойнадежнос­тью {доверительной вероятностью) γ, то естьp(|-θ|<δ) =γ.

При этом δ называютточностью оценки.

Следует обратить внимание на то, что границы интервала и его величина находятся по выборочным данным и поэтому являются слу­чайными величинами в отличие от оцениваемого параметра θ- ве­личины неслучайной, поэтому говорят, что интервал (-δ,+δ) «по­крывает» («накрывает»), а не «содержит» истинное значение θ.

Величина доверительного интервала существенно зависит от объема выборки п (уменьшается с ростомп ) и значения доверитель­ной вероятности γ (увеличивается с приближением γ к единице).

Интервальной оценкой с надежностью γ математического ожи­дания а нормально распределенного количественного признака ξ, по выборочной средней при известном среднем квадратическом откло­нении σ генеральной совокупности служит доверительный интервал

где δ = - точность оценки,п - объем выборки,t - значение

аргумента функции Лапласа Ф(t), при котором Ф(t) =.

При неизвестном среднем квадратическом отклонении σ ис­пользуют интервал:

где s=- «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 4 по заданнымп и γ.

Интервальной оценкой с надежностью γ среднего квадратического отклонения σнормально распределенного количественного признака ξ по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонениюs служит доверительный интервал

s(1- q) < σ < s(1 + q) при q < 1,

0 < σ < s(1 + q) при q > 1,

где q находят по таблице приложения 5 по заданнымnи γ.

Первый из рассмотренных интервалов строится на основе следствия из теоремы Ляпунова (центральная предельная теорема):

Р = 2Ф=γ.

Для определения необходимого объема выборки, при котором с вероятностью γ можно утверждать, что для нормально распределенной величины выборочное среднее отличается от генеральной среднейпо абсолютной величине меньше чем на, пользуются формулой:

n = .

Пример 15.1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объемап = 25 :

	4	6	7	8	9	10	11
	1	6	3	3	7	3	2

Найти:

1) несмещенную оценку генеральной средней;

2) несмещенную оценку генеральной дисперсии.

Решение.

I) Как было рассмотрено выше, несмещенной оценкой генераль­ной средней является выборочная средняя:

= (4∙1 + 6∙6 + 7∙3 + 8∙3 + 9∙7 + 10∙3 + 11∙2) = 8.

2) Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является «исправленная» выборочная дисперсия:

Пример 15.2. Найти доверительный интервал для оценки мате­матического ожиданияа и среднего квадратичного отклонения σ нормально распределенного признака с надежностью γ =0,99, зная выборочную среднюю= 10,5, объем выборкиn= 25 и выбороч­ное «исправленное» среднее квадратическое отклонениеs= 3.

Решение. Доверительный интервал для математического ожи­дания имеет вид

Все величины, кроме t_γ, известны. Найдемt_γпoтаблице прило­жения 4,t_γ= 2,797. Тогда

10,5-2,797 <а < 10,5 + 2,797.

Окончательно имеем

-8,82 < а < 12,18.

Найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

s(1- q) < σ < s(1 + q) при q < 1,

0 < σ < s(1 + q) при q > 1.

Сначала определим параметр q по таблице приложения 5. При

n= 25,γ = 0,99 параметрq = 0,49. Тогда получаем доверительный интервал

3(1-0,49) <σ < 3(1+0,49).

После вычислений

1,53 < σ < 4,47.

Пример 15.3. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,95 точность оценки математического ожиданияа генеральной совокупности по выборочной средней равнаδ= 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение σ = 1,2 нормально рас­пределенной генеральной совокупности.

Решение.Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки математического ожидния генеральной совокупности по вы­борочной средней:δ = t. Отсюда

n = .

Определим величину tиз условия Ф(t) =, то есть

Ф(t) == 0,475. По таблице приложения 2 найдемt = 1,96. Тогда

n = = 61.