4. Алгоритм построения сеток Пенроуза

Матрицу Грама (9), задающую единственную двумерную ℤ-решетку с элементом симметрии 5-го (или 10-го) порядка, представим в виде, где,(в формуле (9) масштабный множительпринят равным 1). Квадратичная формадля произвольных чиселℤ принимает значение из кольца ℤ, равное квадрату расстояния от точки до начала координат. В п.2. было установлено, что если, гдеℤ, то ,,,,,

, .

Матрица – это матрица Грама решетки, порожденной системой корневых векторов[1], которая является единственной четырехмерной целочисленной четной решетки с детерминантом 5 [1].

Множество точек решетки, находящихся на одинаковом расстоянии от начала координат, называется координационной сферой, само это расстояние – координационным радиусом, а количество точек в координационной сфере – координационным числом. Кристаллографические координаты точек решетки одной и той же координационной сферы находятся как целочисленные решения уравнения

,

где – четное неотрицательное число. Все такие решения можно определить перебором в пределах:

, .

где – минор соответствующего диагонального элемента матрицы. Находим,,,.

Определим -отображение четырехмерной решетки корнейв двумернуюℤ-решетку следующим образом: каждой точкепоставим в соответствие точку, где,. Ясно, что это отображение является биективным, т.е. устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками решетоки. Будем последовательно строить на плоскости-образы координационных сфер решетки. Эти-образы условно разобьем на «белые» и «черные». Если соседние «черные» образы соединить линиями, то получится фрагменты сетки Пенроуза [11], состоящие из ромбов с острыми угламии, а также правильных пятиугольников, пятиконечных звезд и других плоских фигур. На рисунке приведены примеры таких фрагментов, полученных-отображением первых нескольких координационных сфер решетки. Данные фрагменты сетки Пенроуза применяются для описания структуры квазикристаллов [12-16].

a). b).

c). d).

e).

Рис. -отображения координационных сфер решетки корней:

(a) – первой координационной сферы; (b) – первых двух координационных сфер;

(c) – первых трех координационных сфер; (d) – первых четырех координационных сфер;

(e) – первых восьми координационных сфер.

Работа финансирована Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований (грант № Ф06М-220).

Литература

1. Конвей, Дж. Упаковки шаров, решетки и группы: в 2 т. / Дж. Конвей, Н. Слоэн; пер. с англ. С.Н. Лицина, М.А. Цфасмана, Г.Б. Шабата. – М.: Мир, 1990.  792 с.

2. Лиопо, В.А. Кристаллографические классы и формула симметрии регулярных решеток в многомерных евклидовых пространствах // В.А. Лиопо, А.В. Сабуть // Вестник ГрГУ. – Сер. 2. – 2001. – № 1. – С. 3-15.

3. Лиопо, В.А. Классы элементов симметрии регулярных решеток в многомерных евклидовых пространствах / В.А. Лиопо, А.В. Сабуть // Збiрник наукових праць Полтавського державного педагогiчного унiверситету iм. В.Г. Короленка. – Випуск 2 (16). – Полтава, 2001. – Серiя “Фiзико-математичнi науки”. – С. 34-45.

4. Лиопо, В.А. Классы симметрии многомерных унитарных пространств относительно кольца целых гауссовых чисел / В.А. Лиопо, А.В. Сабуть // Вестник ГрГУ. – Сер. 2. – 2000. – № 1. – С. 18-31.

5. Ван дер Варден, Б.Л. Алгебра / Б.Л. Ван дер Варден; пер. с нем. А.А. Бельского; под ред. Ю.И. Мерзлякова. – 2-е изд. – М.: Наука, 1979. – 624 с.

6. Бухштаб, А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1966. – 384 с.

7. Воробьев, Н.Н. Числа Фибоначчи: популярные лекции по математике / Н.Н. Воробьев. – 4-е изд. – М.: Наука, 1978. – Вып. 6. – 144 с.

8. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. – 4-е изд. – М.: Наука, 1988. – 552 с.

9. Лиопо, В.А. Многомерные регулярные решетки с заданными элементами симметрии / В.А. Лиопо, А.В. Сабуть // Вестник ГрГУ. – Сер. 2. – 2002. – № 2. – С. 82-89.

10. Сабуть, А.В. Регулярные решетки в многомерных линейных пространствах над произвольным полем / А.В. Сабуть // Вестник ГрГУ. – Сер. 2. – 1999. – № 2. – С. 13-20.

11. Penrose, R. // Bull. Inst. Math. Appl. – 1974. – V. 10. – P. 266-271.

12. Higara, K. Structural characteristics of Al-Co-Ni decagonal quasicrystals and crystalline approximants / Kenji Higara, Tetsu Ohsuna, Wei Sun, Kazumasa Sugiyama // Materials Transactions. – 2001. – V. 42. – № 11. – P. 2354-2367.

13. Saitoh, K. Structural models for decagonal quasicrystals with pentagonal atom-cluster columns / K. Saitoh, K. Tsuda, M. Tanaka // Phil. Mag. A. – 1997. – V. 76. – № 1. – P. 135-150.

14. Yang, Q.B. Quasicrystal model based on a series of supercubic crystal structures consisting of triacontahedra or Mackay icosahedra / Q.B. Yang // Phil. Mag. B. – 1990. – V. 61. – № 2. – P. 155-175.

15. Moody, R.V. Dynamical generation of quasicrystals / R.V. Moody, J. Patera // Letters in Math. Phys. – 1996. – V. 36. – P.291-300.

16. Sinha, A. Selection rules for quasilattices / Arvind Sinha, P. Ramachandrarao, G.V.S. Sastry // Current Science. – 1995. – V. 68. – № 6. – P. 627-631.