Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. 

11. ;

12. ;

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

2. Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. (кардиода).

3. Найти площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

Тема 8. Приложения определенного интеграла. Вычисление длины дуги кривой

Вопросы для повторения:

1. Формула для вычисления длины дуги кривой в прямоугольной системе координат.

2. Вычисление длины дуги кривой в полярных координатах.

3. Вычисление длины дуги кривой, если она задана параметрическими уравнениями.

Пример 1. Найти длины дуг:

1. кривой отх= 0 до.

Применяя формулу:, имеем:

2. кривой между точками пересечения ее с осьюоу.

Найдем точками пересечения с осью OY: при х= 0.

Построим график кривой .

Вследствие симметрии кривой относительно оси OX достаточно найти половину длины заданной кривой.

Отсюда

Или

Пример 2. Найти длину дуги кривой:

1. .

Заданная кривая представляет эвольвенту окружности. Находим производные:

Длина кривой находится по формуле:

. Тогда

2. между точками пересечения с осями координат.

Найдем пределы интегрирования: при х= 0,t =0; приу= 0,.

Вычислим производные ,

находим:

Пример 3. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах:

1. 

Длина дуги определяется по формуле:

. Вычислим.

Находим

.

2. .

Изменяя φ от 0 до 3π, получим кривую:

Вычислим

Отсюда имеем:

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

2. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

3. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6.