6.2. Інтеграли виду
(6.3)
де
– натуральні числа;
–раціональна
функція своїх аргументів.
Такі інтеграли раціоналізуються підстановкою
, (6.4)
де
– найменше спільне кратне знаменників
дробів
:
.
Приклад 6.2. Знайти інтеграли
1)
; 2)
; 3)
.
Розв’язання.
1) Введемо
підстановку
.
Виразимо
через
:
;
;
.
.
.
Тому
.
2) Застосуємо підстановку
,
звідки
;
.
.
.
Отже,
.
3) Застосуємо підстановку
,
звідки
,
.
Тому
.
Представимо підинтегральну функцію у вигляді
.
Після почленного ділення чисельника дробу на знаменник одержуємо
,
де
.
Зауважимо, що інтеграли виду
(6.5)
є окремим
випадком інтегралів (6.3) коли (
).
Інтеграли (6.5) раціоналізуються підстановкою
(6.6)
Приклад 6.3. Знайти інтеграл
.
Розв’язання.
.
6.3. Інтеграли виду
(6.7)
(6.8)
, (6.9)
–дійсне
число.
Кожен з інтегралів (6.7) – (6.9) можна звести до інтегралу від раціональної функції за допомогою тригонометричних підстановок. Укажемо ці підстановки
І.
або
(6.10)
ІІ.
або
(6.11)
ІІІ.
або
. (6.12)
Приклад 6.4. Знайти інтеграли
1)
; 2)
; 3)
.
Розв’язання.
1)
.
2)
.
3)
.
6.4. Інтеграли виду
(6.13)
(
).
Даний інтеграл за допомогою підстановки
(6.14)
зводиться до одного з інтегралів виду (6.7) – (6.9).
Дійсно,
.
Наведемо всі можливі випадки, коли підкорінний вираз існує.
1. Нехай
,
.
.
2.Нехай
,
.
.
3.Нехай
,
.
.
Відповідні приклади рекомендуємо розв’язати самостійно при виконанні завдань п. 7.6 (інтегрування ірраціональних функцій).
7. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
7.1. Варіанти завдання І. Метод безпосереднього інтегрування
Варіант 1.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 2.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 3.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 4.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 5.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 6.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 7.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 8.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 9.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 10.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7..
8.
.
Варіант 11.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 12.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 13.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 14.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
8.
.
Варіант 15.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 16.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 17.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 18.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 19.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 20.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
8.
.
Варіант 21.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 22.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 23.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 24.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 25.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 26.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 27.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
8.
.
Варіант 28.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 29.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
Варіант 30.
1.
. 2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
7.2. Варіанти завдання II. Метод заміни змінної
Варіант 1.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 2.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 3.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 4.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 5.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 6.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 7.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 8.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 9.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 10.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 11.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 12.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 13.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 14.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 15.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 16.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 17.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 18.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 19.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 20.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 21.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 22.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 23.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 24.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
Варіант 25.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Варіант 26.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Варіант 27.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Варіант 28.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Варіант 29.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
Варіант 30.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
