Предикаттар логикасының формуласының ұғымы

Предикаттар логикасында келесі символдарды пайдаланамыз:

1. p, q, r, … символдары – 1– ақиқат немесе 0 – жалған екі мәнді қабылдайтын айнымалы тұжырымдар;

2. x, y, z, … – кейбір М жиынына тиісті мәндерді қабылдайтын пәндік айнымалылар;

x⁰, y⁰, z⁰ – пәндік тұрақтылар, яғни пәндік айнымалылардың мәндері.

3. P(·), Q(·), F(·), … - бір орынды предикаттық айнымалылар;

Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-орынды предикаттық айнымалыла;р

P⁰(·), Q⁰(·,·, …,·) – тұрақты предикаттардың символдары.

4. Логикалық амалдардың символдары:

5. Кванторлық амалдардың символдары:

6. Көмекші символдар: жақшалар, үтірлер.

Предикаттар логикасы формуласының анықтамасы

1. Кез келген тұжырым (қарапайым) формула болады.

2. Егер F(·,·, …,·) – n-орынды предикатты айнымалы немесе тұрақты предикат, ал x₁, x₂,…, x_n – пәндік айнымалылар немесе пәндік тұрақтылар болса, онда F(x₁, x₂,…, x_n) – формула. Мұндай формула қарапайым деп аталады, бұл формулада пәндік айнымалылар бос, кванторлармен байланбаған болады.

3. Егер А және В – формулалар (бұл формулаларға айнымалылар бір түрде кіреді – бос немесе байланған), онда сөздер – формулалар.

4. Егер А – формула болса, онда да – формула, А формуладан формулаға өтуде пәндік айнымалылардың ену түрі өзгермейді.

5. Егер А(х) – формула (бұл формулаға х пәндік айнымалы бос болып енеді), онда және сөздер де формулалар.

6. 1 – 5 бөлімдерде айтылған сөздерден басқа сөздер формула болмайды.

Мысалы, егер Р(х) және Q(x,y) – бір орынды және екі орынды предикаттар, ал q, r – айнымалы тұжырымдар болса, онда келесі сөздер (өрнектер) формулалар болады: .

Мысалы, сөзі формула емес. Мұнда үшінші бөлімнің шарты бұзылған: формулаға х айнымалы байланған болып, ал Р(х) формулаға бос болып енеді.

Предикаттар логикасы формуласы анықтамасынан тұжырымдар алгебрасының әрбір формуласы предикаттар логикасының формуласы болатыны түсінікті.

Предикаттар логикасының формулаларының тепе-теңдігі

Анықтама 1. Егер предикаттар логикасының А және В формулалары М аймаққа тиісті айнымалыларының барлық мәндерінде бірдей логикалық мән қабылдаса, онда бұл формулалар М аймақта тепе-тең деп айтады.

Анықтама 2. Егер предикаттар логикасының А және В формулалары кез келген аймақта тепе-тең болса, онда бұл формулалар тепе-тең деп аталады. Түсінікті, егер тұжырымдар алгебрасының тепе-теңдіктеріне айнымалы тұжырымдардың орындарына предикаттар логикасының формулалары қойылса, олар дұрыс болады. Бірақ, олардан басқа, предикаттар логикасының өзінің тепе-теңдіктері орынды болады. Олардың негізгілерін қарастырайық.

А(х) және В(х) – айнымалы предикаттар, ал С – айнымалы тұжырым болсын (немесе х ке тәуелді емес формула). Онда келесі тепе-теңдіктер орынды:

1.

2.

3.

4.

5.

6. .

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Тьюринг машинасы

Пост машинасына ұқсас, бірақ сәл басқаша жұмыс істейді. Тьюринг машинасы (ТМ) есепші таспадан (ұяшықтарға бөлінген және солынан шектелген, бірақ оңынан емес), оқып және жазатын түбіртектен, таспатартар механизм мен амал атқарушы құрылғыдан тұрады. Құрылғы кейбір ақырлы жиынға (ішкі күй-жай әріппесіне) жататын дискретті күйлерінің бірінде болады. Мұндағы - бастапқы күй деп аталады.Оқитын да, жазатын түбіртек жұмысшы әріппесінің әріптерін оқи да, өшіре де, баспаға шығара да алады. Таспаның әрбір ұяшығы әр мезет А жиыны әрпімен толтырылған. -“бос орын” әрпі бәрінен жиі кездеседі. Түбіртек әр мезет таспа ұяшығының бірі-ағымдағы жұмысшы ұяшық үстінде тұрады. Таспатар механизм түбіртек басының көрші ұяшығының үстінде болатындай етіп таспаны жылжыта алады. Онда таспаның сол жақ шетіне шығу жағдайы болуы мүмкін. Ол жағдай, тоқтау туралы бұйрықты машинаның орындау барысындағы машиналық тоқтау немесе апатты (болмайтын)тоқтау болып табылады. ТМ жұмыс реті ( жұмысшы әріппесі мен күйлері бар). Тьюринг машинасы кестесі арқылы өрнектеледі. Бұл кесте төрт тікжолды және (s+1) (t+1) жолы бар матрица болып табылады. Әр жол мына түрде болады Мұнда арқылы әріппесі мен таспатартар механизм үшін бүйрықтар жиынын біріктіру элементі белгіленген. Бұйрықтар жиыны: l-таспаны солға орналастыру, r-таспаны оңға орналастыру, s-машинаны тоқтату; vіj –a0, a1,...., at әріппесі таңбасын таспа ұяшығына жазудан, не түбіртекті қозғаудан, не машинаны тоқтатудан тұратын ТМ әрекеті; qіj келесі күй-жай болып табылады. ТМ мына ережелер бойынша жұмыс істейді:

Егер ТМ qі күйінде болса, түбіртек жұмысшы ұяшығынан aj таңбасын оқиды. qі aj таңбаларынан басталатын qі aj vіj qіj жолы кестеде бір-ақ рет кездеседі. Егер vіj- жұмысшы әріппесінің әрпі болса, онда түбіртек жұмысшы ұяшықтағыны өшіріп, оған осы әріпті апарып жазады. Егер vіj- таспатартар механизм үшін r немесе l командасы болса, онда таспа оңға немесе солға бір ұяшыққа жылжиды (егер таспаның сол жақ шетіне шығып кетпесе).Тюринг машинасы А әріппесінің бір таңбасы бар таспаның белгілі ұяшығы үстін оқып-жазатын түбіртектің орны мен бастапқы күйден (әдетте q0) тұратын бастапқы конфигурацияның бірінен жұмысын бастайды.

ТМ жұмысшы әріппесінде әртүрлі таңбалардың болуы таспада кезкелген мәтіндік және сандық ақпаратты көрсетуге мүмкіндік береді, ал ТМ басқару орталығының әртүрлі күйге ауысуы Тюринг машинасының жұмыстың аралық нәтижелерін жадында ұстауын модельдейді. ТМ жұмысы ретін анықтайтын кесте тура мағынада программа емес (оның бұйрықтары кезекпен бірінен соң бірі орындалмайды, таспадағы әлдебір мәтіннің таңбаларын түрлендіруді өрнектейді). ТМ кестесін жиі Тюринг машинасының сүлбесі деп атайды немесе ТМ құрылысы мен жұмыс істеу негізі белгілі болғандықтан Тюринг машинасының өзімен теңдестіре салады.