3.4.3. Метод моментов

При обработке статистических данных часто бывает необходимо знать закон распределения случайной величины. Будем называть его теоретическим законом распределения. Установить вид закона теоретического распределения можно согласно методу моментов (который был предложен английским статистиком К.Пирсоном в 1894 г.). Для определения числового значения параметров теоретического распределения воспользуемся выборочными или эмпирическими моментами.

Метод моментов точечной оценки неизвестных параметров заданного распределения заключается в приравнивании теоретических моментов рассматриваемого распределения соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Напомним формулы (ч.1, п.2.9)., по которым вычисляются теоретические моменты (таб. 2.).

Таблица 2.

Моменты	Дискретное распределение	Непрерывное распределение
Начальный порядка k
Центральный порядка k

Первый начальный момент ₁ – это математическое ожидание распределения, второй центральный момент ₂ – его дисперсия.

Сравним теоретические моменты с эмпирическими (Таблица 3):

Таблица 3

Моменты	Вариационный ряд, заданный последовательностью	Вариационный ряд, заданный таблицей
Начальный порядка k
Центральный порядка k

Анализ формул показывает, что первый начальный момент есть среднее выборочное эмпирического распределения () или “центр”, вокруг которого вычисляются центральные моменты. Второй центральный момент есть выборочная дисперсияD*, которая характеризует разброс выборки вокруг среднего. Знания значений эмпирических моментов особенно важны в тех случаях, когда требуется по данным выборки построить кривую теоретической функции распределения, наиболее точно соответствующую данному вариационному ряду.

Задачу подбора теоретической кривой распределения, наиболее точно отражающей данные вариационного ряда, называют выравниванием или сглаживанием статистических рядов.

Выбор такой кривой можно осуществить по виду гистограммы или полигона относительных частот, сравнивая их с графиками функций распределения плотности вероятности.

Подобрав график плотности вероятности, похожий на данные выборки, необходимо подобрать и те значения параметров этой функции, которые наиболее точно описывают данное эмпирическое распределение. По вычисленным первым четырем эмпирическим моментам, можно получить достаточно полную информацию о значениях математического ожидания и дисперсии (первый начальный и второй центральный моменты), а также о форме кривой (третий и четвертый центральный моменты). Как известно, среднее выборочное и выборочная дисперсия служат оценками соответственно математического ожидания и дисперсии – неизвестных числовых характеристик генеральной совокупности, а, значит, и теоретического распределения случайной величины.

Напомним, что третий центральный момент, деленный на третью степень среднеквадратического отклонения, есть асимметрия распределения. Если распределение симметрично относительно своего центра, то теоретическая асимметрия равна нулю. На практике есть некоторое выборочное значение асимметрии. Вероятность, что она будет равна наперед заданному числу (в частности, нулю), ничтожна, даже если теоретическое распределение симметрично. Поэтому необходимо сравнить с единицей: если, то,вероятно, распределение симметрично относительно своего центра. Четвертый центральный момент, деленный на четвертую степень среднеквадратического отклонения – эксцесс, характеризует “плосковершинность” распределения и т. д. Эти знания востребованы, когда по виду гистограммы или полигона узнают кривую известного распределения.

Заметим, что в математической статистике часто используются законы распределения, близкие к нормальному, например, Пирсона (), Стьюдента (St(n)), Фишера-Снедекора (ч.1, п.2.11). Эти законы распределения нашли широкое применение при обработке статистических данных, т.к. они зависят лишь от одного параметра – степени свободы k. Если задана выборка, представленная в виде k независимых случайных величин X₁, X₂,…X_k, то их композиция (сумма) имеет k степеней свободы, т.к. каждая из этих k величин может изменить свое значение независимо от других. В тех случаях, когда существует зависимость между отдельными величинами из этих k величин (уравнения связи), то, соответственно, число степеней свободы системы уменьшается. Пусть существует l функционально независимых уравнений связи, тогда число степеней свободы равно k - l.

Пусть, например, случайная величина X имеет показательное распределение, которое, как известно, зависит от единственного параметра : XE(). Эта информация могла быть получена или исходя из условия задачи, или по виду гистограммы, построенной по некоторому вариационному ряду.

Такая случайная величина может быть задана законом

.

Найдем точечную оценку этого неизвестного параметра  =. Согласно методу моментов, нам достаточно составить и решить одно уравнение, приравняв между собой первые начальные эмпирический и теоретический моменты первого порядка. Т.к. эмпирический момент первого порядка является средним выборочным, а теоретический момент – математическим ожиданием НСВ X, то этим уравнением будет .

Т.к. математическое ожидание НСВ X вычисляется по формуле , то, решив уравнение, получим статистическую оценку* параметра :

.

Т.к. для показательного распределения , то . Отсюда.

В случае, когда неизвестный закон распределения зависит от двух параметров, то составляют два уравнения, решив которые, находят значения неизвестных параметров.