3.2.2 Полигон и гистограмма

Пусть результаты выборки количественного признака X из генеральной совокупности представлены вариационным рядом. Кумулята, будучи функцией распределения выборки, служит ее интегральной вероятностной характеристикой. Для изучения локальных свойств нужна функция, аналогичная ряду распределения или плотности вероятности. Графиками таких вариационных рядов служат полигон и гистограмма.

Точечный вариационный ряд наглядно можно представить с помощью полигона частот, а интервальный – с помощью гистограммы.

Полигоном частот называется ломаная, звенья которой соединяют отрезками точки с координатами (x₁, n₁), (x₂, n₂), ... , (x_k, n_k) для полигона абсолютных частот и точки с координатами (x₁, ), (x₂, ), ... , (x_k, ) для полигона относительных частот.

Для их построения, исходя из условия задачи, необходимо составить точечный (либо интервальный) вариационный ряд абсолютных или относительных частот. Если задан интервальный вариационный ряд, то для построения полигона частот необходимо найти середины интервалов ₁, ₂, … , _k – точки x₁, x₂, … , x_k. Затем, в декартовой системе координат надо отложить на оси абсцисс все возможные значения вариант x₁, x₂, … , x_k, а на оси ординат соответствующие им абсолютные частоты n₁, n₂, … , n_k (или относительные частоты ,,…,). Для построения полигона абсолютных (относительных) частот необходимо соединить отрезками полученные точки с координатами (x₁,n₁), (x₂,n₂), ... , (x_n,n_k) (или, соответственно, (x₁, ), (x₂, ), ... , (x_k, )).

Гистограммой абсолютных (относительных) частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых есть частичные интервалы длиною h, высотами которых служат значения, пропорциональные частоте интервала n_i (или ). Отношенияназываютплотности частоты, а отношения плотности относительной частоты.

Для построения гистограммы необходимо найти размах выборки – ее границы, т.е. и, длину интервалов, а такжеk – число интервалов.

При удачном подборе интервалов гистограмма и полигон дают представление о графике функции плотности вероятности распределения генеральной совокупности, что используется для формулировки предположения о виде исследуемого теоретического закона распределения (п.3.6.6).

Заметим, что, если за единицу высоты принять 1/h, площадь каждого i-го прямоугольника равна произведению основания на высоту: т.е. частотеi-го интервала (или сумме частот вариант, входящих в этот интервал). Тогда площадь всей гистограммы частот равна сумме всех частот , т.е. объему выборки, причем площадь каждого столбца гистограммы пропорциональна частоте попадания наблюдений в данный интервал группировки. Если в качестве высот прямоугольников выбрать отношения, то площадь фигуры под гистограммой относительных частот равна единице, т.к..

Т.о., площадь гистограммы частот равна сумме всехчастот, т.е..

Задача 2. Представить графическое распределение размеров зарплаты сотрудников фирмы за неделю (в долларах), если они получили следующую зарплату:

152.74; 176.66; 162.48; 167.72; 181.09; 155.00; 196.17; 169.60; 172.88; 182.47; 181.69; 186.91; 190.10; 176.14; 192.70; 178.59; 167.27; 175.14; 160.00; 177.46; 165.18; 167.77; 178.46; 165.00; 185.20; 157.02; 172.14; 192.22; 179.40; 191.03; 188.68; 169.51; 200.15; 178.47; 176.33; 179.05; 180.95; 174.28; 175.00; 178.45; 150.10; 176.86; 187.71; 168.33; 195.00; 172.37; 179.04; 182.05; 186.19; 190.05; 196.27; 209.28; 203.16; 168.52; 200.00; 196.30.

x_max=209.28, x_min=150.10.

Решение.

Построим интервальный вариационный ряд с интервалом h=10:

Интервалы зарплаты	150-160	160-170	170-180	180-190	190-200	200-210
ni	4	11	18	10	9	4

Для построения точечного вариационного ряда найдем середины интервалов:

xi	155	165	175	185	195	205
ni	4	11	18	10	9	4

Составим графики распределения зарплаты (Рис. 2а,б)

Интервальному вариационному ряду соответствует гистограмма (Рис. 2(а). Точечному вариационному ряду соответствует полигон (Рис. 2(б).

Рис. 2 (а, б)

Задача 3. Даны результаты изменения напряжения (в вольтах) в электросети. Составить вариационный ряд и начертить график распределения напряжения, если значения напряжения следующие:

227, 229, 215, 230, 232, 223, 220, 222, 228, 219,

222, 221, 227, 226, 226, 229, 217, 215, 218, 220,

216, 220, 220, 221, 225, 224, 212, 217, 219, 220.

Решение.

Составим вариационный ряд, по которому построим гистограмму (Рис.3). Имеем

x_max=232, x_min=212. Применим формулу Стерджесса и подсчитаем число интервалов:

Тогда вариационный ряд абсолютных частот примет вид:

xi	212-217	217-222	222-227	227-232
ni	7	12	7	5

Соответствующая гистограмма абсолютных частот представлена на рисунке 3(а), а относительных частот - на рисунке 3(б).

Рис.3 (а) Рис. 3(б)

Задача 4. Контролер на рынке выявлял отклонение весов в граммах от стандарта на основе выборки. Закон распределения выборки задан вариационным рядом абсолютных частот:

xi	-2	0	3	5	8
ni	5	1	7	3	4

Составить закон распределения относительных частот и построить их графики.

Решение:

1. Найдем объем выборки: .

2. Найдем относительные частоты по формуле :.

3. Составим вариационный ряд относительных частот:

	-2	0	3	5	8
	0.25	0.05	0.35	0.15	0.20

4. Полигон для вариационного ряда распределения абсолютных частот представлен на рисунке 4а. Полигон вариационного ряда относительных частот представлен на рисунке 4б:

Величина интервала группировки значительно влияет на вид гистограммы: чем больше величина h, тем менее различимы особенности распределений.