3.5.5 Доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли

Пусть проводится n независимых испытаний, в которых событие А наступает с неизвестной постоянной вероятностью p. Найдем для p точечную и интервальную оценки с помощью выборочных испытаний.

Точечная оценка вероятности. Составим таблицу статистического распределения выборки объема n, в которой m раз произошел «успех» (выпала «1») и n-m раз «неуспех» (выпал «0») (таб. 4):

Таблица 4

xi	0	1
	(n-m)/n	m/n

Неизвестная вероятность р равна математическому ожиданию генерального распределения. В качестве оценки для вероятности р возьмем эмпирическое среднее:

.

Т.о., точечной оценкой неизвестной вероятности p может служить значение относительной частоты (статистической вероятности)

, (3.29)

где m – число успехов в серии n испытаний.

Относительная частота успеха является несмещенной оценкой, т.к. ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру:

M(W)=M(m/n)=M(m)/n=np/n=p.

Т.к. дисперсия биномиального распределения D(n)=npq, то

D(W)=D(m/n)=.

Тогда среднее квадратическое отклонение относительной частоты найдем по формуле

. (3.30)

Интервальная оценка вероятности. Согласно свойству статистической устойчивости относительной частоты в испытаниях Бернулли (ч.1, п.2.12.4) вероятность отклонения относительной частоты от вероятности в независимых повторных испытаниях можно найти с помощью функции Лапласа по формуле:

где аргумент функции Лапласа u= зависит от значения надежности .

Тогда справедливо неравенство:

(3.31)

Заменив  на ,q на 1-p, а также учитывая, что относительная частота получаем, что с вероятностью выполняется неравенство:

.

Итак, для построения доверительного интервала для вероятности р при поиске аргумента u функции Лапласа необходимо воспользоваться таблицами нормального распределения (Таблица 3, приложение 1).

Границы интервала зависят от неизвестной величины р, однако, при большом объеме выборки n неизвестное р можно заменить его эмпирическим значением :

. (3.32)

Полученная формула доверительного интервала позволяет решить еще одну задачу: установить объем выборки n, для которого с надежностью  точность оценки , полученной по ней для вероятностир, не превосходит заданного значения , т.е. .

Действительно, по формуле доверительного интервала с вероятностью  выполняется неравенство . Это означает, что результат тем точнее, чем больше объем выборки. Нужное значение объемаn можно найти из уравнения , т.е., причем «хороший» результат получается уже дляnpq9.

Замечание. Для бесповторной выборки (выборки без возвращения) из генеральной совокупности объема N длина доверительного интервала с надежностью (уровнем доверия)  может быть вычислена по формуле:

. (3.33)

Такую же поправку (уменьшение дисперсии в (1-n/N) раз) следует сделать и для случая бесповторной выборки в формулах доверительных интервалов для среднего значения нормального распределения.

Задача 15. Выборочный статистический опрос ста студентов показал, что из них 80 человек устраиваются на работу в процессе учебы в ВУЗе. Найти интервальную оценку вероятности того, что случайно выбранный студент совмещает учебу в ВУЗе и работу, при условии, что полученный результат допускает ошибку не более, чем в 5% случаев.

Решение:

В качестве точечной оценки возьмем частоту (или эмпирическую вероятность): .

Зная вероятность ошибки =0.05 (или доверительную вероятность 1-=0.95, по таблицам значений функций Лапласа (Таблица 3, приложение 1) найдем значение параметра u_=1.96. Тогда двусторонний доверительный интервал вычисляем по формуле (3.32):

.

Итак, доверительный интервал для эмпирической вероятности в нашей задаче имеет вид: 0.72p0.88.

Правила построения доверительных интервалов для неизвестных параметров распределения сведем в таблице 5:

Таблица 5.

Неизвестный параметр	Условия оценки	Вид используемого распределение	Границы интервала	Доверительный интервал
Математическое ожидание	- известно	- функция Лапласа для нормального распределения	m, где
	- не известно	- распределение Стьюдента	m, где
Дисперсия	- известно	- распределение Пирсона
	- неизвестно	распределение
		- функция Лапласа
Вероятность		- функция Лапласа	p, где