3.6.2 Проверка статистических гипотез о числовом значении генерального среднего

Пусть генеральная совокупность распределена по известному (нормальному) закону XN(m,). В зависимости от характера статистической информации возможны варианты:

– известна дисперсия, но неизвестно генеральное среднее (математическое ожидание);

– неизвестна дисперсия, но известно генеральное среднее (математическое ожидание);

– неизвестна дисперсия и неизвестно математическое ожидание.

Необходимо по имеющимся статистическим данным оценить значения неизвестного параметра.

В качестве неизвестного математического ожидания можно взять первый начальный момент ₀, полученный по выборке. Рассмотрим гипотезуH₀:=₀, приH₁:₀.

Проверка гипотезы о числовом значении среднего генерального (математического ожидания) основывается на построении критической области по заданным наблюдаемым числовым характеристикам и соответствующей статистике.

1. При проверке гипотезы о числовом значении генерального среднего при известной дисперсии применяют статистику

, (3.37)

имеющую стандартное нормальное распределение N(0,1). Для определения границ критических областей используют таблицу нормального распределения (Функция Лапласа) при условии, что Ф(u)= .

2. При проверке гипотезы о числовом значении среднего при неизвестной дисперсии используют статистику,

, (3.38)

имеющую распределение Стъюдента с k=n-1 степенями свободы. Границы критической области ищут по таблицам распределения Стьюдента St (Таблица 6, приложение 1) с заданным уровнем значимости .

1. Двусторонняя критическая область для проверки гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности m=m₀ по сравнению с альтернативной mm₀, на уровне значимости  определяется неравенством:

,

где t_n-1; находят по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, причем  в верхней строчке.

2. Правосторонняя критическая область для проверки гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности m = m₀ по сравнению с альтернативной m > m₀, на уровне значимости  определяется неравенством:

,

где t_n-1; находят по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, причем  в нижней строчке.

3. Левосторонняя критическая область для проверки гипотезы о том, что среднее значение генеральной совокупности m = m₀ по сравнению с альтернативной m<m₀, на уровне значимости  определяется неравенством:

,

где t_n-1; находят по таблице 6 критических значений распределения Стьюдента, причем  в нижней строчке.

Напомним, что если вычисленные значения статистики Т попадают в критическую область, то основная гипотеза отвергается (с вероятностью попадания в эту область, равной принятому уровню значимости ). В таком случае принимается альтернативная гипотеза.

Задача 15 (Тураева А.А., 2004г.). По результатам тридцатипятилетних исследований установлено, что среднее изменение доходности векселей равно 5.5%. Предполагая, что изменение доходности подчиняется нормальному закону распределения с дисперсией, равной четырем, на уровне значимости =0.05 решить:

а) можно ли принять 6% в качестве нормативного процента (математического ожидания) изменения доходности;

б) можно ли принять за норматив 6.5%?

Решение:

При проверке гипотезы о числовом значении генерального среднего при известной дисперсии применяют статистику (3.37).

1) По условию задачи нулевая гипотеза H₀: m₀=6%. Т.к. =5.5%, то в качестве альтернативной гипотезы возьмем гипотезуH₁: m<6%, которой соответствует левосторонняя критическая область с интервалом (-;x₁). По таблицам функции Лапласа (Таблица 3, приложение 1) найдем квантиль – аргумент для функции Лапласа –из уравнения Ф(x)=. Зная, чтоФ(x)=0.45, найдем u_кр=x_кр= -1.65, т.е. левосторонняя критическая область составляет интервал (-;-1.65).

Воспользовавшись формулой критерия U_набл.=, найдем значение критерияU_набл== -1.48. Т.к. -1.48(-;-1.65), т.е. U_набл > x_кр , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу H₀. Значит, в качестве нормативного процента можно принять 6%.

б) По условию задачи в этом случае нулевая гипотеза H₀: m₀=5%, а альтернативная H₁:m<6.5%. Т.к. в этом случае U_набл==-2.96, причемU_набл попадает в критическую область -2.96(-;-1.65), где U_набл < x_кр , то отвергаем нулевую гипотезу H₀, а принимаем альтернативную, т.к. она не противоречит данным эксперимента. В таком случае с вероятностью =0.05 возможно совершить ошибку I рода.