Пример решения типовой задачи

Даны данные продаж товара на период с 1997 по 2006 гг. Определить прогноз продаж на 2008-2009гг.

Для определения прогноза необходимо:

1) проверить гипотезу о наличии тенденции (тренда) в уровне цен;

2) определить параметры уровней линейного и гиперболического трендов;

3) обосновать вид прогностической функции тренда.

Годы	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
Продажи, тыс.шт	74	79	80	90	105	142	122	100	126	150

Решение: минимизируем расчеты – 1998 год будет год 1, 1999-й – год 2 и т.д.

1. Рассчитаем параметры линейной парной регрессии (). Используем данные табл.1 (исходные данные и данные, полученным в процессе расчета).

Таблица 1

Год	Период (х)	Продажи, тыс.шт (y)	x2	xy	y2
1998	1	74	1	74	5476
1999	2	79	4	158	6241
2000	3	80	9	240	6400
2001	4	90	16	360	8100
2002	5	105	25	525	11025
2003	6	142	36	852	20164
2004	7	122	49	854	14884
2005	8	100	64	800	10000
2006	9	126	81	1134	15876
2007	10	150	100	1500	22500
∑	55	1068	385	6497	120666
среднее знач.	5,50	106,80	38,50	649,70	12066,60

Найдем значения a и b по методу наименьших квадратов из решения системы:

Из системы:

Уравнение парной регрессии y на x:

Коэффициент корреляции:

,

где

,

Коэффициент детерминации: .

2. Для гиперболической зависимости сделаем замену переменных, чтобы привести уравнение к линейному виду. Обозначим, откуда. Для расчета используем данные табл.2.

Год	y	z =1/x	yz	z2	y2
1998	74	1,0000	74,0000	1,0000	5476	60,0197	13,9803	195,4488
1999	79	0,5000	39,5000	0,2500	6241	92,9636	-13,9636	194,9807
2000	80	0,3333	26,6667	0,1111	6400	103,9448	-23,9448	573,3550
2001	90	0,2500	22,5000	0,0625	8100	109,4355	-19,4355	377,7377
2002	105	0,2000	21,0000	0,0400	11025	112,7299	-7,7299	59,7507
2003	142	0,1667	23,6667	0,0278	20164	114,9261	27,0739	732,9952
2004	122	0,1429	17,4286	0,0204	14884	116,4949	5,5051	30,3064
2005	100	0,1250	12,5000	0,0156	10000	117,6714	-17,6714	312,2797
2006	126	0,1111	14,0000	0,0123	15876	118,5865	7,4135	54,9593
2007	150	0,1000	15,0000	0,0100	22500	119,3186	30,6814	941,3465
∑	1068	2,9290	266,2619	1,5498	120666	1066,091	1,9090	3473,1601
среднее знач.	106,80	0,29	26,63	0,15	12066,6			347,316

Параметры уравнения:

.

Индекс корреляции: .

Коэффициент детерминации: .

3. Проверив валидность модели, наносим на диаграмму объем продаж и линию тренда:

Линейная зависимость:

Гиперболическая зависимость:

Линия тренда

y = 125,9074-65,8877/x

Анализируя линии трендов зависимостей и сравнивая коэффициенты детерминации, выясняем, что для прогноза лучше использовать линейную функцию.

Прогноз продаж на 2008 год: = 148 тыс.шт.

Прогноз продаж на 2009 год: = 156 тыс.шт.

Приложение 6