6.3 Критерии согласия для предполагаемого закона распределения

Не всегда есть основания высказывать альтернативную гипотезу в явном виде. Тогда выдвигается основная гипотеза а конкурирующая гипотеза содержит отрицание Например:

выборки двух генеральных случайных величин, имеющих равные дисперсии;

выборки двух случайных величин, имеющих не равные дисперсии.

В этом случае проверка гипотезы состоит в выявлении того, согласуется ли высказанное в гипотезе предложение с выборочными наблюдениями Такие критерии называются критериями согласия.

Рассмотрим основные гипотезы относительно закона распределения:

выборка извлечена из совокупности, имеющей распределение с функцией

Причем параметры могут быть указаны все или только некоторые из них. Вместо функции распределения может быть указан вид закона распределения или плотность.

Рассмотрим критерий согласия и критерий Колмогорова.

6.3.1 Критерий согласия (критерий Пирсона)

Пусть выборка случайной величины Х. На основе обработки данных мы можем выдвинуть предположения о функции распределения генеральной случайной величины. Например, после построения гистограммы проводится сравнение с общими видами графиков плотностей распределения известных законов. Если высоты прямоугольников приблизительно одинаковые, то можно предположить, что генеральная случайная величина распределена равномерно.

Итак, с заданным уровнем значимости нужно проверить гипотезу генеральная совокупность имеет функцию распределения

Определим этапы проверки гипотезы:

1 этап. Разобьем промежуток изменения выборочных данных на r интервалов без общих точек. Число членов выборки, попавших в i-ый интервал, обозначим Величина показывает эмпирическую вероятность попадания в i-ый интервал. Значение называют еще эмпирической частотой попадания в i-ый интервал.

2 этап. Предположив справедливость гипотезы вычисляем теоретическую вероятность попадания в i-ый интервал: При подсчете теоретических вероятностей есть определенные правила:

а) В гипотезе указан вид распределения, но не все параметры указаны. Пусть неизвестные параметры Далее сохраним обозначение s – число оцененных параметров. В роли значений параметров выступают их оценки (заметим, что в роли оценок не всегда выступают оценки, приведенные в §4).

б) Объединение интервалов разбиения должно покрывать всё множество значений генеральной случайной величины: В противном случае проводится корректировка первого и последнего интервалов

3 этап. Находятся теоретические частоты Если для некоторых интервалов то их объединяют с соседними так, чтобы в итоге для каждого интервала теоретическая частота была больше 5. При объединении интервалов их эмпирические частоты складываются. Новое число интервалов обозначается

4 этап. За меру отклонения выборки от гипотетического распределения принимают:

(6.3.1)

Значение критерия вычисленное по выборочным данным, обозначим

5 этап. При выполнении гипотезы выборочным распределением будет распределение с степенью свободы. Для нахождения критической точки используем таблицу 3: по и находим . Критической областью является

6 этап. Если то принимаем гипотезуКонечно, абсолютно истинной гипотезуне считаем.

Если то гипотезуотвергаем.

Пример 1. Даны эмпирические и теоретические частоты попадания в каждый интервал разбиения. Используя критерий при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной случайной величины Х.

	5	10	20	8	7
	6	14	18	7	5

Здесь подсчет теоретических и эмпирических частот произведен. Гипотеза генеральная совокупность нормально распределена. Тогда число оцененных параметров Оценки параметров а и заранее вычислены, и с их использованием найдены Число интервалов Объем выборки

Найдем

Определим критическую точку. Используем таблицу 3: при и числе степеней свободы имеем

Итак, и тогда и нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.

Пример 2. Дан интервальный вариационный ряд (выборка задана интервально).

Интервалы
Частота	20	46	80	89	40	16	9

Гипотетическим является нормальное распределение.

При уровне значимости проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной случайной величины Х с выборкой.

Объем выборки

Нужно оценить параметры распределения. За выборочные данные возьмем середины интервалов.

	-15	-5	5	15	25	35	45
	20	46	80	89	40	16	9

Найдем оценку математического ожидания:

Оценка параметра а:

Вычислим несмещенную оценку дисперсии:

Оценка среднеквадратического отклонения:

Производится подсчет теоретических попаданий в каждый из интервалов. Используется выражение функции распределения нормального закона с параметрами через функцию Лапласа:

при

при

Считается, что параметры равны их оценкам:

Нормально распределенная случайная величина принимает любое значение на числовой оси. Поэтому при подсчете теоретических вероятностей изменяется первый и последний интервалы: первый интервал и последний

Находим теоретические вероятности:

Проведем проверку вычислений:

Занесем в таблицу эмпирические частоты, теоретические вероятности и теоретические частоты с объемом выборки

	20	46	80	89	40	16	9
	0,0688	0,1431	0,2682	0,2779	0,1686	0,0576	0,0158
	20,64	42,93	80,46	83,37	50,58	17,28	4,74

В последнем интервале теоретическая частота меньше пяти:

Объединяем последний интервал с предпоследним: в множество попало членов выборки, теоретическая частота попадания генеральной случайной величины на равна:

Число интервалов после объединения

По формуле (6.3.1) найдем

По таблице 3 найдем критическую точку Подсчитаем число степеней свободы. После объединения осталось 6 интервалов; находились оценки двух параметров. При и числе степеней свободы определяем Критической областью является

Значение не превосходит Поэтому нет оснований отвергать гипотезу , то есть данные выборочные наблюдения согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной случайной величины Х.

Пример 3. Дана выборка генеральной случайной величины Х:

	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21
	21	16	15	25	23	14	21	22	18	25

Используя критерий при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х равномерно распределена на множестве

Объем выборки:

По предположению множество всех значений генеральной случайной величины находится на отрезке Разобьем этот отрезок так, чтобы в каждом интервале находилось одно выборочное значение.

Выберем следующее разбиение:

Эмпирические частоты попадания в эти интервалы совпадают с

Найдем теоретические вероятности попадания в интервалы разбиения. Если случайная величина равномерно распределена на отрезке и выполняется условие то

Параметры распределения даны: Тогда:

Проведем проверку: Значение 1 не получено из-за округлений в вычислениях.

Занесем в таблицу эмпирические частоты теоретические вероятностии теоретические частоты:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	21	16	15	25	23	14	21	22	18	25
	0,038	0,099	0,099	0,099	0,099	0,099	0,099	0,099	0,099	0,168
	7,6	19,8	19,8	19,8	19,8	19,8	19,8	19,8	19,8	33,6

Все теоретические частоты больше 5. Найдем наблюдаемое значение критерия :

Определяется критическая точка. В основной гипотезе все параметры известны, поэтому число оцененных параметров Всего 10 интервалов разбиения. Используем таблицу 3: прии числе степеней свободыкритическая точка:Критической областью является

Величина превышает Поэтому гипотеза о том, что случайная величинаХ распределена равномерно на не согласуется с выборочными данными.

Пример 3. Одновременно подбрасывается четыре монеты, случайная величина Х показывает число выпадений герба. Приведена выборка генеральной случайной величины Х:

	0	1	2	3	4
	10	20	43	22	5

Используя критерий с уровнем значимостипроверить гипотезу о том, что случайная величинаХ распределена по биномиальному закону.

Объем выборки:

Параметрами биномиального распределения являются N и р. Число подбрасываемых монет равно 4, поэтому Вероятность появления герба при подбрасывании одной монеты неизвестна, нужно оценить параметрр:

Множество выборочных значений совпадает со множеством значений случайной величиныХ. Разбиваем отрезок на интервалы так, чтобы в каждый интервал попало только одно выборочное значение:

Тогда:

Число интервалов

Используем формулу Бернулли:

Произведем вычисление вероятностей

Занесем в таблицу эмпирические частоты теоретические вероятностии теоретические частоты(объем выборки).

i	1	2	3	4	5
	10	20	43	22	5
	0,073	0,27	0,374	0,23	0,053
	7,3	27	37,4	23	5,3

Все теоретические частоты больше 5.

Определим наблюдаемое значения критерия:

Находилась оценка только одного параметра, поэтому Число выборочных значений равно числу интервалов разбиения, поэтомуИспользуем таблицу 3: прии числе степеней свободыопределяем критическую точку

Наблюдаемое значение критерия не превышает критическое значение Поэтому нет оснований отвергать гипотезу о биномиальном распределении генеральной случайной величиныХ.