Введение

Теория вероятностей является одной из составляющих частей курса «Математика» для экономических специальностей.

Теория вероятностей так же, как и другие разделы математики, имеет дело не с явлениями окружающего мира непосредственно, а с их математическими моделями.

Много еще не познано в мире. Не все факторы можно учесть при проведении эксперимента. Поэтому не всегда можно сказать точно, что произойдет в конкретном опыте. Мы знаем, что может произойти, и как часто каждый исход происходит. Событие называется случайным, если в результате опыта оно может либо произойти, либо не произойти. Теория вероятностей изучает свойства массовых случайных событий, способных многократно повторяться при вопроизведении определенного комплекса условий.

На теорию вероятностей опирается математическая статистика. Задачей математической статистики является по ограниченному числу данных восстановить с определенной точностью характеристики, присущие всему мысленному набору данных, описывающему изучаемое явление.

Глава 1. Случайные события

§ 1. Случайные события

Предполагается, что эксперимент можно проводить неограниченное число раз при одинаковых условиях. Событие – это результат эксперимента. Различаются детерминированные и случайные события.

В детерминированном событии мы точно знаем, что данный эксперимент приведет к единственному и вполне определенному следствию.

Часто мы не в состоянии получить полную информацию о явлении не только из-за нашего неумения, неспособности, неточности действий, но и объективно: так устроена природа. Это приводит к непредсказуемости исхода эксперимента (опыты).

Мы знаем, что может произойти в результате эксперимента, но что произойдет в конкретном эксперименте заранее не знаем. Тогда результат эксперимента считается случайным событием.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появится в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

Пример 1. Мы подбрасываем монету. Можно рассмотреть три исхода опыта: выпала решка, выпал герб. События и являются случайными.

Пример 2. Умножая два на два, получим четыре. Это достоверное событие.

Пример 3. Выпадение снега при температуре является невозможным событием.

§ 2. Действия над событиями

События обычно обозначают большими буквами А, В, С, … Невозможное событие обозначают символом , а достоверное событие обозначают символом (омега большое).

Если событие В происходит всегда, когда происходит событие А, то говорят, что событие В является следствием события А. Это обозначается тем же символом, что и подмножество .

Один и тот же исход можно по-разному описать. Поэтому возникает понятие равенства множеств. Равенство множеств обозначается как .

Если и , то .

События называются несовместными, если они вместе не могут наблюдаться в опыте.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий:

.

Из события А следует сумма этого события с любым другим событием В:

.

Произведением событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий:

.

Если события А и В несовместны, то их произведение является невозможным событием:

.

События образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них обязательно произойдет в опыте.

Достоверное событие является следствием любого события А: . Если события образуют полную группу событий, то их сумма будет являться достоверным событием:

образуют полную группу событий .

Два несовместных события, образующие полную группу событий, называются противоположными:

и А и В противоположные.

Если одно из противоположных событий обозначить через А, то другое обозначают через . Событие происходит, если событие А не произошло.

Пример 1. На каждой грани однородного кубика указаны точками очки от 1 до 6. Такой кубик называют игральной костью. Введем события:

А – выпала грань с нечетным числом очков.

В – выпала грань с числом очков, кратным трем.

Эти события можно описать более коротко, но более абстрактно:

.

Опишем некоторые операции над этими событиями.

1. .

2. , тогда события А и В совместные.

3. .

4. .

Пример 2. В урне (ящике) белые и черные шары. Наугад берем шар. Интересуемся цветом шара.

Возможны случайные события А и В:

А – взяли белый шар.

В – взяли черный шар.

Эти события противоположные: .