6.2 Гипотезы о математическом ожидании нормально распределенной генеральной случайной величины

Известна выборка нормально распределенной случайной величины Х. Выдвигается основная гипотеза о значении математического ожидания:

Дисперсия случайной величины Х может быть известна или неизвестна.

1 случай. Дисперсия случайной величины Х равна

В качестве критерия К выбираем статистику она распределена по стандартному нормальному закону. Очень часто стандартно нормально распределенную случайную величину обозначают буквой Z. Итак,

является критерием.

Критическая область строится в зависимости от заданного уровня значимости и вида альтернативной гипотезы

Рассматривается три вида альтернативной гипотезы:

то есть

Критические точки находятся по таблице 1 значений функции Лапласа. Введем обозначение двух решений:

При альтернативной гипотезе критической областью является множество

При альтернативной гипотезе критической областью является

При альтернативной гипотезе критической областью является

Сведем все рассуждения в таблицу 6.2.1.

Дана выборка случайной величины, нормально распределенной с известной дисперсией Проверяется гипотеза при заданном уровне значимости

Таблица 6.2.1

		Критерий	Нахождение критических точек	Критическая область

2 случай. Дисперсия генеральной случайной величины Х неизвестна.

Несмещенной оценкой среднеквадратического отклонения является:

Статистика выбирается в роли критерия, она имеет распределение Стьюдента с степенью свободы:

Критическая область строится в зависимости от заданного уровня значимости и вида альтернативной гипотезы

Для нахождения критических точек используется таблица 2. Введем два обозначения критических точек

1. 

2. 

При известной дисперсии рассматриваются различные альтернативные гипотезы В таблице 6.2.2 по содержанию гипотезы будет указан вид критической области.

Дана выборка нормально распределенной генеральной случайной величины. Проверяется гипотеза при заданном уровне значимости

Таблица 6.2.2

		Критерий	Нахождение критических точек	Критическая область

Пример 1. Дана выборка генеральной случайной величины с известным средним квадратичным отклонением Объем выборки По данным выборки найдена оценка математического ожидания С заданным уровнем значимости проверить гипотезу при альтернативной гипотезе

Параметр известен, поэтому используем таблицу 6.2.1. Найдем значение критерия по данным выборки:

Определим критические точки:

Множество является критической областью

Наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область:

Тогда нулевая гипотеза принимается.

Пример 2. Решим пример 1 при конкурирующей гипотезе

При изменении альтернативной гипотезы изменится критическая область. Найдем критическую точку:

Множество является критическим.

Наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область:

Поэтому нулевую гипотезу при альтернативной гипотезе принимаем с уровнем значимости

Пример 3. Дана выборка нормально распределенной случайной величины:

	3	5	7	9	11
	5	25	40	24	6

С уровнем значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе

Объем выборки

Найдем оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения:

Среднеквадратическое отклонение неизвестно. Используем таблицу 6.2.2: найдем наблюдаемое значение критерия:

Определим критическую точку:

При и по таблице 2 находим в таблице 2 нет, берем близкое

Критическая точка критическая область Наблюдаемое значение критерия попадает в критическую область:

.

Гипотезу при альтернативной гипотезе отвергаем с уровнем значимости